Problema de sistemas de ecuaciones: Reparto de becas

**a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permite averiguar que cantidad de personas reciben cada tipo de beca. (1.5 ptos)** En primer lugar, debemos definir las incógnitas que representarán las cantidades desconocidas que nos pide el problema. Llamaremos: $x$: número de personas que reciben la beca $B_1$. $y$: número de personas que reciben la beca $B_2$. $z$: número de personas que reciben la beca $B_3$. 💡 **Tip:** Es fundamental definir claramente qué representa cada variable antes de escribir las ecuaciones para no cometer errores de interpretación.

A partir de la información del enunciado, traducimos el lenguaje natural a lenguaje algebraico: 1. **Total de personas:** Nos dicen que $145$ personas obtienen beca. $$x + y + z = 145$$ 2. **Presupuesto total:** El dinero total destinado es de $43400$ euros, repartidos según el valor de cada beca ($400$ para $B_1$, $160$ para $B_2$ y $200$ para $B_3$). $$400x + 160y + 200z = 43400$$ 3. **Relación entre becas:** La cantidad de personas con la beca $B_1$ es $5$ veces mayor que la que obtiene la beca $B_2$. $$x = 5y$$ 💡 **Tip:** En la tercera ecuación, fíjate que si $x$ es mayor, el número grande ($x$) es el que resulta de multiplicar el pequeño ($y$) por $5$.

Agrupamos las ecuaciones obtenidas para formar el sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas: $$\begin{cases} x + y + z = 145 \\ 400x + 160y + 200z = 43400 \\ x = 5y \end{cases}$$ Podemos simplificar la segunda ecuación dividiendo todos sus términos por $40$ para facilitar los cálculos posteriores: $$10x + 4y + 5z = 1085$$ El sistema resultante es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 145 \\ 10x + 4y + 5z = 1085 \\ x - 5y = 0 \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)** Dado que tenemos la variable $x$ ya despejada en la tercera ecuación ($x = 5y$), utilizaremos el método de sustitución. Sustituimos $x = 5y$ en las otras dos ecuaciones: 1. En la primera ecuación: $$(5y) + y + z = 145 \implies 6y + z = 145$$ Despejamos $z$ en función de $y$: $$z = 145 - 6y$$ 2. En la segunda ecuación simplificada: $$10(5y) + 4y + 5z = 1085 \implies 50y + 4y + 5z = 1085 \implies 54y + 5z = 1085$$ 💡 **Tip:** Sustituir una variable despejada reduce el sistema a uno de 2x2, mucho más sencillo de manejar.

Ahora sustituimos la expresión de $z$ ($z = 145 - 6y$) en la ecuación con $y$: $$54y + 5(145 - 6y) = 1085$$ $$54y + 725 - 30y = 1085$$ $$24y = 1085 - 725$$ $$24y = 360$$ $$y = \frac{360}{24} = 15$$ Calculamos ahora el valor de $x$ e $z$: - Para $x$: $x = 5y = 5 \cdot 15 = 75$ - Para $z$: $z = 145 - 6y = 145 - 6(15) = 145 - 90 = 55$ Comprobamos que la suma es correcta: $75 + 15 + 55 = 145$ personas.

Finalmente, indicamos el número de personas que reciben cada tipo de beca según nuestras variables iniciales: - Becas tipo $B_1$ ($x$): **75 personas** - Becas tipo $B_2$ ($y$): **15 personas** - Becas tipo $B_3$ ($z$): **55 personas** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{B_1: 75, \quad B_2: 15, \quad B_3: 55}$$