Continuidad y extremos de una función con valor absoluto y parámetros

**a) ¿Para que valor de $t$ la funcion $f(x)$ es continua en $x = -1$? (0.5 ptos)** Para que la función $f(x)$ sea continua en el punto de salto $x = -1$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista el valor de la función: $f(-1)$ 2. Que exista el límite cuando $x$ tiende a $-1$: $\lim_{x \to -1} f(x)$ 3. Que ambos valores coincidan. En la práctica, esto implica que los límites laterales y el valor de la función en el punto deben ser iguales: $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1)$$ 💡 **Tip:** En funciones a trozos, la continuidad se comprueba habitualmente igualando las ramas en el valor de la frontera (el punto donde cambia la definición de la función).

Calculamos cada parte por separado: **Límite por la izquierda y valor de la función ($x \le -1$):** Utilizamos la primera rama $f(x) = |x+2| + t$: $$f(-1) = \lim_{x \to -1^-} (|x+2| + t) = |-1+2| + t = |1| + t = 1+t$$ **Límite por la derecha ($x \gt -1$):** Utilizamos la segunda rama $f(x) = (x-t)^2$: $$\lim_{x \to -1^+} (x-t)^2 = (-1-t)^2 = (1+t)^2$$ Igualamos ambos resultados para garantizar la continuidad: $$1+t = (1+t)^2$$ Resolvemos la ecuación cuadrática: $$1+t = 1 + 2t + t^2$$ $$t^2 + t = 0$$ $$t(t+1) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: - $t = 0$ - $t = -1$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 0 \quad \text{y} \quad t = -1}$$

**b) Para $t = 3$, calcula los extremos relativos de la funcion $f(x)$ en el intervalo $(-1, +\infty)$. (0.5 ptos)** Sustituimos $t=3$ en la rama correspondiente al intervalo $(-1, +\infty)$: $$f(x) = (x-3)^2 \quad \text{si } x \gt -1$$ Para hallar los extremos relativos (máximos y mínimos), primero calculamos la primera derivada y buscamos sus raíces (puntos críticos): $$f'(x) = 2(x-3)^1 \cdot 1 = 2(x-3) = 2x - 6$$ Igualamos a cero: $$2x - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$$ Como $x=3$ pertenece al intervalo solicitado $(-1, +\infty)$, es un candidato a extremo relativo. 💡 **Tip:** Un extremo relativo se encuentra donde la derivada es cero y existe un cambio de signo en dicha derivada o la segunda derivada es distinta de cero.

Utilizamos el criterio de la segunda derivada para clasificar el punto crítico $x=3$: $$f''(x) = (2x-6)' = 2$$ Evaluamos en el punto crítico: $$f''(3) = 2 \gt 0$$ Al ser la segunda derivada positiva, la función es convexa (forma de U) en ese punto, lo que significa que hay un **mínimo relativo** en $x=3$. Calculamos la coordenada $y$ del punto: $$y = f(3) = (3-3)^2 = 0$$ ✅ **Resultado (Mínimo relativo):** $$\boxed{(3, 0)}$$

**c) Para $t = 3$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcion $f(x)$ en $(-1, +\infty)$. (0.5 ptos)** Estudiamos el signo de $f'(x) = 2x-6$ en el intervalo dado, usando el punto crítico $x=3$ para dividir el dominio: - En el intervalo $(-1, 3)$: Probamos con $x=0 \implies f'(0) = 2(0)-6 = -6 \lt 0$ (Decreciente). - En el intervalo $(3, +\infty)$: Probamos con $x=4 \implies f'(4) = 2(4)-6 = 2 \gt 0$ (Creciente). Representamos los cambios de signo en una tabla: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-1, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Decreciente: } & (-1, 3) \\ \text{Creciente: } & (3, +\infty) \end{aligned}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una función crece cuando $f'(x) \gt 0$ y decrece cuando $f'(x) \lt 0$.