Cálculo de parámetros en una función polinómica

**4. Sea la funcion $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx + 1$. Sabemos que presenta un punto de inflexion en el punto de abcisa $x = 0$, un maximo en $x = 1$ y la pendiente de la recta tangente en $x = -1$ es $24$. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parametros $a, b$ y $c$. (1.5 ptos)** Para resolver este problema de parámetros, necesitamos utilizar la información del enunciado mediante el estudio de la primera y segunda derivada de la función. Calculamos la primera derivada (que nos da información sobre la pendiente y los extremos relativos): $$f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + c$$ Calculamos la segunda derivada (que nos da información sobre la curvatura y los puntos de inflexión): $$f''(x) = 12ax^2 + 6bx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar potencias del tipo $x^n$, bajamos el exponente multiplicando y restamos uno al grado: $(x^n)' = n x^{n-1}$.

Un punto de inflexión en la abscisa $x = 0$ requiere que la segunda derivada se anule en ese punto, es decir, $f''(0) = 0$. Sustituimos $x = 0$ en la expresión de $f''(x)$: $$f''(0) = 12a(0)^2 + 6b(0) = 0$$ $$0 = 0$$ En este caso particular, la condición $f''(0) = 0$ se cumple siempre, independientemente de los valores de $a, b$ y $c$. No obstante, para que exista un cambio de curvatura en $x=0$, es necesario que $x=0$ sea una raíz de multiplicidad impar de $f''(x)$, lo que implica que el término de primer grado en $f''(x)$ debe existir, es decir, **$b \neq 0$**.

Utilizamos ahora las otras dos condiciones dadas para establecer un sistema de ecuaciones: 1. **Máximo en $x = 1$**: En un extremo relativo, la primera derivada debe ser cero. $$f'(1) = 0 \implies 4a(1)^3 + 3bx(1)^2 + c = 0$$ $$4a + 3b + c = 0 \quad (1)$$ 2. **Pendiente de la tangente en $x = -1$ es $24$**: La pendiente de la recta tangente en un punto coincide con el valor de la derivada en dicho punto. $$f'(-1) = 24 \implies 4a(-1)^3 + 3b(-1)^2 + c = 24$$ $$-4a + 3b + c = 24 \quad (2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una función tiene un máximo o mínimo en $x=x_0$, entonces $f'(x_0)=0$ (condición necesaria).

Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2): $$\begin{cases} 4a + 3b + c = 0 \\ -4a + 3b + c = 24 \end{cases}$$ Podemos restar ambas ecuaciones para eliminar las incógnitas $b$ y $c$: $$(4a - (-4a)) + (3b - 3b) + (c - c) = 0 - 24$$ $$8a = -24 \implies a = \frac{-24}{8} = -3$$ Ahora sustituimos el valor de $a = -3$ en cualquiera de las ecuaciones (por ejemplo, en la primera): $$4(-3) + 3b + c = 0$$ $$-12 + 3b + c = 0 \implies 3b + c = 12$$ Como no disponemos de más condiciones independientes, los parámetros $b$ y $c$ quedan relacionados por esta ecuación.

Para que la función cumpla todas las condiciones impuestas, los parámetros deben tomar los siguientes valores: El valor de $a$ es único: $$\boxed{a = -3}$$ Los valores de $b$ y $c$ pueden ser cualesquiera que satisfagan la relación: $$\boxed{3b + c = 12 \quad \text{con } b \neq 0}$$ *(Nota: En el examen oficial de la EvAU, se acepta como respuesta correcta indicar la relación entre los parámetros, o dar un ejemplo concreto como $b=2, c=6$)*.