Probabilidad en sorteo de entradas

**a) Se sortean dos entradas entre todos los alumnos, ¿cual es la probabilidad de que ambas entradas le toquen a alumnos que no son de Albacete? (pueden tocarle al mismo alumno las dos entradas). (0.75 ptos)** Primero, organizamos los datos de la clase: - Total de alumnos: $27$ - Alumnos de Albacete ($A$): $14$ - Alumnos que **no** son de Albacete ($\bar{A}$): $5$ (Cuenca) + $8$ (Toledo) = $13$ El enunciado indica que **pueden tocarle al mismo alumno las dos entradas**, lo que significa que el sorteo es **con reemplazamiento** (el primer alumno premiado vuelve a entrar en el bombo para el segundo sorteo). Por tanto, los sucesos son independientes. Definimos el suceso: - $\bar{A}$: El alumno seleccionado no es de Albacete. La probabilidad de que un alumno no sea de Albacete en un sorteo es: $$P(\bar{A}) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}} = \frac{13}{27}$$ 💡 **Tip:** En probabilidad, "no ser de A" es el suceso complementario. También puedes calcularlo como $1 - P(A)$.

Como los sorteos son independientes (con reemplazamiento), la probabilidad de que ambas entradas recaigan en alumnos que no son de Albacete es el producto de las probabilidades individuales: $$P(\bar{A}_1 \cap \bar{A}_2) = P(\bar{A}_1) \cdot P(\bar{A}_2)$$ Sustituimos los valores: $$P(\text{Ambas } \bar{A}) = \frac{13}{27} \cdot \frac{13}{27} = \frac{169}{729}$$ Si realizamos la división: $$P(\text{Ambas } \bar{A}) \approx 0.2318$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \frac{169}{729} \approx 0.2318}$$

**b) Si sorteamos $5$ entradas, de una en una, de forma que no participa en el sorteo la persona que ya le haya tocado una entrada, ¿cual es la probabilidad de que las $5$ sean para alumnos de Cuenca? (0.75 ptos)** En este caso, el sorteo es **sin reemplazamiento**. Esto significa que el número total de alumnos y el número de alumnos de Cuenca disminuye en cada extracción. Datos de Cuenca: - Alumnos totales: $27$ - Alumnos de Cuenca ($C$): $5$ Queremos calcular la probabilidad de que las 5 entradas sean para alumnos de Cuenca, es decir, que salgan consecutivamente: $$P(C_1 \cap C_2 \cap C_3 \cap C_4 \cap C_5)$$ 💡 **Tip:** En extracciones sucesivas sin reemplazamiento, las probabilidades son dependientes: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$.

Aplicamos la regla de la multiplicación para sucesos dependientes: 1. Probabilidad de que el 1º sea de Cuenca: $P(C_1) = \frac{5}{27}$ 2. Probabilidad de que el 2º sea de Cuenca, sabiendo que el 1º lo fue: $P(C_2|C_1) = \frac{4}{26}$ 3. Probabilidad de que el 3º sea de Cuenca: $P(C_3|C_1 \cap C_2) = \frac{3}{25}$ 4. Probabilidad de que el 4º sea de Cuenca: $P(C_4|\dots) = \frac{2}{24}$ 5. Probabilidad de que el 5º sea de Cuenca: $P(C_5|\dots) = \frac{1}{23}$ Multiplicamos todas las fracciones: $$P = \frac{5}{27} \cdot \frac{4}{26} \cdot \frac{3}{25} \cdot \frac{2}{24} \cdot \frac{1}{23}$$ Calculamos el numerador y el denominador: - Numerador: $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ - Denominador: $27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 = 9.687.600$ Simplificamos la fracción: $$P = \frac{120}{9.687.600} = \frac{1}{80.730}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \frac{1}{80.730} \approx 1.238 \cdot 10^{-5}}$$