Intervalo de confianza para la media y tamaño muestral

**a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de atencion al paciente por parte del centro, con un nivel de confianza del $95\%$.** Primero, identificamos los parámetros que nos da el enunciado: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 2$ minutos. - Tamaño de la muestra: $n = 10$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$. Calculamos la media muestral ($\bar{x}$) sumando los tiempos y dividiendo por el número total de datos: $$\bar{x} = \frac{5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 11 + 12 + 14 + 15 + 16}{10} = \frac{103}{10} = 10,3 \text{ minutos.}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la media muestral $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ es el mejor estimador puntual de la media poblacional $\mu$. $$\boxed{\bar{x} = 10,3}$$

Para un nivel de confianza del $95\%$, determinamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ de la distribución normal estándar $N(0, 1)$: 1. $1 - \alpha = 0,95 \implies \alpha = 0,05$. 2. $\alpha/2 = 0,025$. 3. Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975$. Buscando en la tabla de la distribución normal estándar: $$P(Z \le 1,96) = 0,975$$ Por lo tanto, el valor crítico es **$z_{\alpha/2} = 1,96$**. 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $95\%$ es uno de los más comunes ($1,96$). Para el $99\%$ es $2,575$ y para el $90\%$ es $1,645$.

La fórmula del error máximo admisible es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1,96 \cdot \frac{2}{\sqrt{10}} = 1,96 \cdot \frac{2}{3,1623} \approx 1,96 \cdot 0,6324 = 1,2396$$ El intervalo de confianza se define como $I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I.C. = (10,3 - 1,2396, \; 10,3 + 1,2396) = (9,0604, \; 11,5396)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (9,0604, \; 11,5396)}$$

**b) ¿Cual debera ser el tamaño minimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de confianza, el error maximo admisible sea menor que $1$ minuto?** El enunciado nos pide que el error $E \lt 1$, manteniendo el nivel de confianza del $95\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$) y la desviación típica $\sigma = 2$. Planteamos la inecuación usando la fórmula del error: $$z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \lt 1 \implies 1,96 \cdot \frac{2}{\sqrt{n}} \lt 1$$ Despejamos $n$: $$3,92 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros: $$(3,92)^2 \lt n \implies 15,3664 \lt n$$ 💡 **Tip:** En el cálculo del tamaño muestral $n$, siempre debemos redondear al entero superior, independientemente de los decimales, para garantizar que el error sea realmente menor que el solicitado. Como $n$ debe ser un número entero, el tamaño mínimo es **$n = 16$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 16 \text{ clientes}}$$