Probabilidad de renovación de licencias de software

**a) Construir el árbol de probabilidades.** Primero definimos los sucesos principales según el sistema operativo de la licencia: - $W$: El usuario tiene sistema Windows. - $M$: El usuario tiene sistema MacOS. - $L$: El usuario tiene sistema Linux. Y los sucesos relativos a la renovación: - $R$: El usuario renueva la licencia. - $\bar{R}$: El usuario no renueva la licencia. Extraemos las probabilidades del enunciado: - $P(W) = 0.50$ - $P(M) = 0.40$ - $P(L) = 0.10$ Probabilidades condicionadas de renovación: - $P(R|W) = 0.90$ - $P(R|M) = 0.75$ - $P(R|L) = 0.60$ 💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la suma de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser $1$. Por ejemplo, si un $90\%$ de Windows renueva, el $10\%$ no lo hace.

**b) Se recibe una llamada de un usuario que ha renovado la licencia. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un usuario Linux?** Para resolver este apartado, primero necesitamos saber cuál es la probabilidad total de que un usuario cualquiera haya renovado ($P(R)$). Usamos el **Teorema de la Probabilidad Total** sumando los casos en los que se produce una renovación: $$P(R) = P(W) \cdot P(R|W) + P(M) \cdot P(R|M) + P(L) \cdot P(R|L)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(R) = (0.50 \cdot 0.90) + (0.40 \cdot 0.75) + (0.10 \cdot 0.60)$$ $$P(R) = 0.45 + 0.30 + 0.06 = 0.81$$ 💡 **Tip:** La probabilidad total es la suma de los extremos de todas las ramas que terminan en el suceso que nos interesa (en este caso, Renovar).

Ahora que sabemos que el usuario ha renovado ($R$), queremos hallar la probabilidad de que sea de Linux ($L$). Esto es una probabilidad a posteriori, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(L|R) = \frac{P(L \cap R)}{P(R)} = \frac{P(L) \cdot P(R|L)}{P(R)}$$ Introducimos los datos calculados: $$P(L|R) = \frac{0.10 \cdot 0.60}{0.81} = \frac{0.06}{0.81}$$ Simplificamos la fracción: $$P(L|R) = \frac{6}{81} = \frac{2}{27} \approx 0.0741$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L|R) \approx 0.0741 \text{ (un } 7.41\% \text{)}} $$

**c) Se eligen al azar 10 propietarios de licencias de este programa para una encuesta de opinion. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sea usuario Linux?** Estamos ante un experimento repetido $n=10$ veces, donde cada observación es independiente. Definimos la variable aleatoria: - $X$: Número de usuarios de Linux en una muestra de 10. Esta variable sigue una **distribución Binomial**: $X \sim B(n, p)$ Donde: - $n = 10$ (número de ensayos). - $p = P(L) = 0.10$ (probabilidad de que un usuario sea de Linux). - $q = 1 - p = 0.90$ (probabilidad de que no sea de Linux). Nos piden la probabilidad de que **al menos uno** sea Linux, es decir: $P(X \ge 1)$. 💡 **Tip:** Cuando nos pidan "al menos uno", es mucho más rápido calcular el suceso contrario (que ninguno lo sea) y restarlo a $1$.

Aplicamos la propiedad del suceso contrario: $$P(X \ge 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0)$$ Usamos la fórmula de la probabilidad binomial $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ para $k=0$: $$P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot (0.10)^0 \cdot (0.90)^{10}$$ Sabemos que $\binom{10}{0} = 1$ y $(0.10)^0 = 1$, por lo tanto: $$P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot (0.90)^{10} \approx 0.3487$$ Finalmente, calculamos la probabilidad pedida: $$P(X \ge 1) = 1 - 0.3487 = 0.6513$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 1) \approx 0.6513}$$