Inferencia estadística: Proporción y tamaño muestral

**a) ¿Cuál es la proporción muestral de habitantes sin dispositivos móviles?** En un intervalo de confianza para la proporción $[L_i, L_s]$, la proporción muestral $\hat{p}$ es siempre el punto medio del intervalo, ya que este se construye sumando y restando el margen de error a dicha proporción. Podemos calcularlo como la media aritmética de los extremos: $$\hat{p} = \frac{0,1804 + 0,2196}{2}$$ $$\hat{p} = \frac{0,4000}{2} = 0,2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el intervalo de confianza tiene la forma $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$, por lo que $\hat{p}$ está exactamente en el centro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\hat{p} = 0,2}$$ La proporción muestral es del **20%**.

Para el apartado b, necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al nivel de confianza del $95\%$. 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95 \implies \alpha = 0,05$. 2. Repartimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0,025$. 3. Buscamos el valor de $z$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - 0,025 = 0,975$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,975$$ Consultando la tabla de la distribución normal $N(0,1)$, encontramos que para una probabilidad de $0,975$, el valor es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,96}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1,96$ para el $95\%$ y $2,575$ para el $99\%$.

**b) ¿Cuál es el tamaño de la muestra utilizado?** Primero hallamos el margen de error $E$, que es la mitad de la amplitud del intervalo: $$E = \frac{0,2196 - 0,1804}{2} = \frac{0,0392}{2} = 0,0196$$ La fórmula del error para la proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $E = 0,0196$, $z_{\alpha/2} = 1,96$, $\hat{p} = 0,2$: $$0,0196 = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,2 \cdot (1 - 0,2)}{n}}$$ $$\frac{0,0196}{1,96} = \sqrt{\frac{0,2 \cdot 0,8}{n}}$$ $$0,01 = \sqrt{\frac{0,16}{n}}$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: $$(0,01)^2 = \frac{0,16}{n}$$ $$0,0001 = \frac{0,16}{n}$$ $$n = \frac{0,16}{0,0001} = 1600$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 1600 \text{ habitantes}}$$

**c) Con un nivel de confianza del 99% y con la misma información muestral, ¿cuál sería el correspondiente intervalo?** Para un nivel de confianza del $99\%$: 1. $1 - \alpha = 0,99 \implies \alpha = 0,01$. 2. $\alpha/2 = 0,005$. 3. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,005 = 0,995$. En la tabla de la normal, el valor $0,995$ se encuentra entre $2,57$ ($0,9949$) y $2,58$ ($0,9951$). Tomamos el valor intermedio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,575}$$ (También es aceptable usar $2,58$ dependiendo del criterio del corrector).

Calculamos el nuevo margen de error $E'$ con $n = 1600$ y $\hat{p} = 0,2$: $$E' = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$$ $$E' = 2,575 \cdot \sqrt{\frac{0,2 \cdot 0,8}{1600}}$$ $$E' = 2,575 \cdot \sqrt{\frac{0,16}{1600}} = 2,575 \cdot \sqrt{0,0001}$$ $$E' = 2,575 \cdot 0,01 = 0,02575$$ Construimos el intervalo $(\hat{p} - E', \hat{p} + E')$: $$\text{Límite inferior} = 0,2 - 0,02575 = 0,17425$$ $$\text{Límite superior} = 0,2 + 0,02575 = 0,22575$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = [0,17425, 0,22575]}$$