Estudio de una función de beneficios de un parque acuático

**a) Representar gráficamente la función. ¿Cuándo ha crecido y decrecido el beneficio?** Para representar la función, analizamos cada una de las tres ramas en sus respectivos intervalos: 1. **Tramo 1:** $f(x) = \frac{x + 8}{2} = 0,5x + 4$ para $0 \leq x \leq 4$. Es un segmento de recta con pendiente positiva ($0,5$). - Si $x = 0 \implies f(0) = 4$. - Si $x = 4 \implies f(4) = 6$. 2. **Tramo 2:** $f(x) = -x^2 + 12x - 26$ para $4 < x \leq 8$. Es un arco de parábola que abre hacia abajo. - Vértice: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-12}{2(-1)} = 6$. - Ordenada del vértice: $f(6) = -(6)^2 + 12(6) - 26 = -36 + 72 - 26 = 10$. - Extremo izquierdo: $\lim_{x \to 4^+} f(x) = -(4)^2 + 12(4) - 26 = -16 + 48 - 26 = 6$. - Extremo derecho: $f(8) = -(8)^2 + 12(8) - 26 = -64 + 96 - 26 = 6$. 3. **Tramo 3:** $f(x) = 6$ para $8 < x \leq 12$. Es una función constante (recta horizontal). 💡 **Tip:** Observamos que la función es continua en todo su dominio $[0, 12]$, ya que los valores coinciden en los puntos de salto entre ramas ($x=4$ y $x=8$).

A continuación, se muestra la representación gráfica de la función de beneficios: Para determinar el crecimiento y decrecimiento, derivamos la función por tramos: $$f'(x) = \begin{cases} 1/2 & \text{si } 0 < x < 4 \\ -2x + 12 & \text{si } 4 < x < 8 \\ 0 & \text{si } 8 < x < 12 \end{cases}$$ Analizamos el signo de la derivada: - En $(0, 4)$, $f'(x) = 0,5 > 0 \implies$ **Creciente**. - En $(4, 8)$, $-2x + 12 = 0 \implies x = 6$. - Si $x \in (4, 6)$, $f'(x) > 0 \implies$ **Creciente**. - Si $x \in (6, 8)$, $f'(x) < 0 \implies$ **Decreciente**. - En $(8, 12)$, $f'(x) = 0 \implies$ **Constante**. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (0,4) & 4 & (4,6) & 6 & (6,8) & 8 & (8,12) \\ \hline f'(x) & + & \n.d. & + & 0 & - & \n.d. & 0 \\ \hline f(x) & \nearrow & & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & & \longrightarrow \end{array}$$ ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 6) \text{ y Decreciente en } (6, 8)}$$ *(Nota: En el intervalo $(8, 12]$ el beneficio se mantiene constante en 6 millones)*

**b) Calcular en qué momentos se obtuvieron los beneficios máximo y mínimo y a cuánto ascendían estas cantidades.** Basándonos en el análisis anterior de la monotonía y los valores en los extremos: - **Máximo absoluto:** Se alcanza en el vértice de la parábola, en $x = 6$. El valor es $f(6) = 10$. - **Mínimo absoluto:** Comparando los valores en los extremos y puntos críticos: $f(0)=4$, $f(4)=6$, $f(6)=10$, $f(x)=6$ para $x \in [8, 12]$. El valor más bajo es $f(0)=4$. 💡 **Tip:** El beneficio se expresa en millones de euros, por lo que debemos multiplicar el resultado por $1.000.000$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Máximo: Mes 6 (Junio) con 10.000.000 €} \\ &\text{Mínimo: Mes 0 (Inicio del año) con 4.000.000 €} \end{aligned}}$$

**c) ¿Cuándo fue el beneficio igual a 6.000.000 €?** Buscamos los valores de $x$ tales que $f(x) = 6$ (ya que la función está en millones). 1. **Rama 1 ($0 \le x \le 4$):** $$\frac{x + 8}{2} = 6 \implies x + 8 = 12 \implies x = 4.$$ 2. **Rama 2 ($4 < x \le 8$):** $$-x^2 + 12x - 26 = 6 \implies -x^2 + 12x - 32 = 0 \implies x^2 - 12x + 32 = 0.$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(1)(32)}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2}$$ $$x_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{8}{2} = 4.$$ Ambos valores ($x=4$ y $x=8$) están en los bordes de la definición de la rama. 3. **Rama 3 ($8 < x \le 12$):** $$f(x) = 6 \text{ para todo } x \in (8, 12].$$ Uniendo todos los resultados, el beneficio es igual a 6 millones en $x=4$ y en todo el intervalo $[8, 12]$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{En el mes 4 y durante el periodo entre los meses 8 y 12 inclusive.}}$$