Álgebra 2019 Canarias
Optimización de producción: Mesas y Estanterías
Una carpintería construye mesas y armarios de oficina utilizando tableros de aglomerado de idéntica medida. Para construir una mesa se requieren 2.5 tableros, y para construir una estantería se necesitan 6 tableros. Para ensamblar las piezas se utilizan 10 tornillos en cada mesa y 60 tornillos en cada estantería. El almacén dispone de 740 tableros y 6200 tornillos. Por cada mesa se obtiene un beneficio de 80€, por cada estantería un beneficio de 120€ y se tiene que satisfacer una demanda mínima de 50 mesas y 60 estanterías. Suponiendo que siempre se vende toda la producción, si se quiere maximizar los beneficios:
a) Formular el correspondiente problema de programación lineal y representar la región factible.
b) ¿Cuántas mesas y estanterías se deben fabricar con los tableros y tornillos disponibles en el almacén? ¿Cuál es el valor del beneficio óptimo?
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
**a) Formular el correspondiente problema de programación lineal y representar la región factible.**
Primero, definimos las variables de decisión que representan las cantidades que queremos calcular:
- $x$: número de mesas a fabricar.
- $y$: número de estanterías a fabricar.
El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, ganamos $80€$ por mesa y $120€$ por estantería, por lo que la **función objetivo** es:
$$f(x, y) = 80x + 120y$$
💡 **Tip:** Recuerda que la función objetivo siempre representa aquello que queremos optimizar (maximizar beneficios o minimizar costes).
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
A continuación, escribimos las limitaciones (restricciones) basadas en los recursos disponibles y la demanda mínima:
1. **Tableros:** Se usan $2.5$ por mesa y $6$ por estantería, con un máximo de $740$.
$$2.5x + 6y \le 740$$
2. **Tornillos:** Se usan $10$ por mesa y $60$ por estantería, con un máximo de $6200$.
$$10x + 60y \le 6200 \implies x + 6y \le 620$$
3. **Demanda mínima de mesas:** Al menos $50$.
$$x \ge 50$$
4. **Demanda mínima de estanterías:** Al menos $60$.
$$y \ge 60$$
Como el número de objetos no puede ser negativo, implícitamente $x, y \ge 0$, aunque las restricciones de demanda ya lo aseguran.
$$\boxed{\begin{cases} 2.5x + 6y \le 740 \\ x + 6y \le 620 \\ x \ge 50 \\ y \ge 60 \end{cases}}$$
Paso 3
Representación de la región factible
Para representar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las inecuaciones y determinamos el área común que cumple todas las condiciones.
- Recta $r_1$ (Tableros): $2.5x + 6y = 740$. Si $x=50, y=102.5$. Si $y=60, x=152$.
- Recta $r_2$ (Tornillos): $x + 6y = 620$. Si $x=50, y=95$. Si $y=60, x=260$.
- Recta $r_3$ (Mesas): $x = 50$ (vertical).
- Recta $r_4$ (Estanterías): $y = 60$ (horizontal).
La región factible es el polígono encerrado por estas fronteras.
Paso 4
Cálculo de los vértices de la región factible
Los vértices son los puntos de intersección de las rectas que limitan la región:
- **Punto A:** Intersección de $x=50$ y $y=60$. $\mathbf{A(50, 60)}$.
- **Punto B:** Intersección de $y=60$ y $2.5x + 6y = 740$.
$2.5x + 6(60) = 740 \implies 2.5x = 380 \implies x = 152$. $\mathbf{B(152, 60)}$.
- **Punto C:** Intersección de $2.5x + 6y = 740$ y $x + 6y = 620$.
Restando las ecuaciones: $(2.5x - x) = 740 - 620 \implies 1.5x = 120 \implies x = 80$.
Sustituyendo: $80 + 6y = 620 \implies 6y = 540 \implies y = 90$. $\mathbf{C(80, 90)}$.
- **Punto D:** Intersección de $x=50$ y $x + 6y = 620$.
$50 + 6y = 620 \implies 6y = 570 \implies y = 95$. $\mathbf{D(50, 95)}$.
💡 **Tip:** Los vértices siempre se encuentran resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cruzan en ese punto.
Paso 5
Evaluación del beneficio en los vértices
**b) ¿Cuántas mesas y estanterías se deben fabricar con los tableros y tornillos disponibles en el almacén? ¿Cuál es el valor del beneficio óptimo?**
Calculamos el valor de la función beneficio $f(x, y) = 80x + 120y$ en cada vértice:
- $f(A) = f(50, 60) = 80(50) + 120(60) = 4000 + 7200 = 11200€$
- $f(B) = f(152, 60) = 80(152) + 120(60) = 12160 + 7200 = 19360€$
- $f(C) = f(80, 90) = 80(80) + 120(90) = 6400 + 10800 = 17200€$
- $f(D) = f(50, 95) = 80(50) + 120(95) = 4000 + 11400 = 15400€$
Comparando los resultados, el beneficio máximo es de $19360€$.
Paso 6
Conclusión final
Para maximizar los beneficios, la carpintería debe fabricar **152 mesas y 60 estanterías**.
El beneficio óptimo asciende a **19360€**.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Mesas: } 152, \text{ Estanterías: } 60, \text{ Beneficio: } 19360€}$$