Estimación de la media: tiempo de llegada al trabajo

**a) Determinar el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza del 88%.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$, que representa el tiempo empleado en llegar al trabajo: - La distribución es normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 12$ minutos. - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Media muestral: $\bar{x} = 40$ minutos. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.88$. 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ con desviación típica conocida se calcula con la fórmula: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$

Para hallar $z_{\alpha/2}$, seguimos estos pasos: 1. Calculamos el nivel de significación $\alpha$: $$1 - \alpha = 0.88 \implies \alpha = 0.12$$ 2. Calculamos la probabilidad acumulada hasta el valor crítico: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.06 = 0.94$$ 3. Buscamos el valor en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$: - Para una probabilidad de $0.9394$, el valor es $1.55$. - Para una probabilidad de $0.9406$, el valor es $1.56$. Tomamos el valor intermedio exacto: $$z_{\alpha/2} = 1.555$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto de probabilidad no aparece en la tabla, puedes interpolar o elegir el más cercano. En este caso, $0.94$ está justo en medio de $0.9394$ y $0.9406$.

Calculamos el error máximo admisible $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$: $$E = 1.555 \cdot \frac{12}{\sqrt{100}} = 1.555 \cdot \frac{12}{10} = 1.555 \cdot 1.2 = 1.866$$ Ahora, construimos el intervalo restando y sumando este error a la media muestral $\bar{x} = 40$: $$IC = (40 - 1.866, 40 + 1.866) = (38.134, 41.866)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (38.134, 41.866)}$$

**b) ¿Qué tamaño muestral se necesita para estimar el tiempo en llegar al trabajo, con un error menor de 4 minutos y con un nivel de confianza del 95%?** Actualizamos los datos para este apartado: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$. - Probabilidad acumulada: $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$. - Buscando en la tabla $N(0, 1)$, obtenemos: **$z_{\alpha/2} = 1.96$**. - Error máximo: $E \lt 4$ minutos. - Desviación típica: $\sigma = 12$ minutos. 💡 **Tip:** El valor crítico para el 95% ($1.96$) es uno de los más utilizados en estadística, ¡conviene recordarlo!

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores conocidos: $$n \gt \left( \frac{1.96 \cdot 12}{4} \right)^2$$ Simplificamos la fracción: $$n \gt (1.96 \cdot 3)^2 = (5.88)^2 = 34.5744$$ Como el tamaño muestral $n$ debe ser un número entero y el error debe ser **menor** de 4, debemos redondear siempre al alza. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n = 35 \text{ empleados}}$$