Distribución Normal: Edades de empleados

**a) ¿Cuántos empleados se espera que haya con más de 62 años?** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como la edad de los empleados de la empresa. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu=44, \sigma=18)$$ Queremos calcular la probabilidad de que un empleado tenga más de 62 años, es decir, $P(X \gt 62)$. Para usar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$, debemos **tipificar** la variable usando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(X \gt 62) = P\left(Z \gt \frac{62 - 44}{18}\right) = P\left(Z \gt \frac{18}{18}\right) = P(Z \gt 1)$$ 💡 **Tip:** Tipificar nos permite transformar cualquier normal en una normal estándar $Z$, lo que nos permite buscar los valores de probabilidad en una tabla única.

Como las tablas de la normal estándar suelen darnos la probabilidad acumulada hacia la izquierda, $P(Z \le k)$, aplicamos la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Buscando en la tabla $N(0, 1)$, encontramos que $P(Z \le 1) = 0,8413$. Entonces: $$P(X \gt 62) = 1 - 0,8413 = 0,1587$$ Para hallar el número esperado de empleados, multiplicamos la probabilidad obtenida por el total de empleados ($N = 250$): $$\text{Empleados} = 250 \cdot 0,1587 = 39,675$$ Redondeando al número entero más cercano, esperamos encontrar **40 empleados**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{40 \text{ empleados}}$$

**b) ¿Cuántos empleados se espera que haya con menos de 40 años?** Buscamos $P(X \lt 40)$. Tipificamos de nuevo: $$P(X \lt 40) = P\left(Z \lt \frac{40 - 44}{18}\right) = P\left(Z \lt \frac{-4}{18}\right) \approx P(Z \lt -0,22)$$ Debido a la simetría de la campana de Gauss, la probabilidad de un valor negativo a la izquierda es igual a la probabilidad del valor positivo a la derecha: $$P(Z \lt -0,22) = P(Z \gt 0,22)$$ Y aplicando el complementario: $$P(Z \gt 0,22) = 1 - P(Z \le 0,22)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z \le a)$. Esto es fundamental porque las tablas no suelen incluir valores negativos de $Z$.

Buscamos en la tabla el valor para $Z = 0,22$: $$P(Z \le 0,22) = 0,5871$$ Por tanto: $$P(X \lt 40) = 1 - 0,5871 = 0,4129$$ Ahora calculamos el número de empleados multiplicando por el total: $$\text{Empleados} = 250 \cdot 0,4129 = 103,225$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{103 \text{ empleados}}$$

**c) Halla el número de empleados que podría conseguir el carnet joven de transporte que promociona el Ayuntamiento si el requisito es ser mayor de edad y no haber cumplido los 30 años.** El requisito es ser mayor de edad ($X \ge 18$) y menor de 30 años ($X \lt 30$). Buscamos la probabilidad en el intervalo: $$P(18 \le X \lt 30)$$ Tipificamos ambos extremos: - Para $X = 18$: $Z_1 = \frac{18 - 44}{18} = \frac{-26}{18} \approx -1,44$ - Para $X = 30$: $Z_2 = \frac{30 - 44}{18} = \frac{-14}{18} \approx -0,78$ Entonces buscamos: $P(-1,44 \le Z \lt -0,78)$. Esto se calcula restando las probabilidades acumuladas: $$P(-1,44 \le Z \lt -0,78) = P(Z \lt -0,78) - P(Z \lt -1,44)$$ 💡 **Tip:** Para un intervalo $P(a < Z < b)$, la probabilidad es $P(Z < b) - P(Z < a)$.

Convertimos las probabilidades de valores negativos a positivos usando simetría: - $P(Z \lt -0,78) = 1 - P(Z \le 0,78) = 1 - 0,7823 = 0,2177$ - $P(Z \lt -1,44) = 1 - P(Z \le 1,44) = 1 - 0,9251 = 0,0749$ Restamos los valores: $$P(18 \le X \lt 30) = 0,2177 - 0,0749 = 0,1428$$ Finalmente, calculamos el número de empleados: $$\text{Empleados} = 250 \cdot 0,1428 = 35,7$$ Redondeando, obtenemos aproximadamente 36 empleados. ✅ **Resultado:** $$\boxed{36 \text{ empleados}}$$