Análisis 2019 Canarias
Cálculo de superficie de un mosaico y optimización de costes
3. En una pared, a la entrada de un puerto pesquero, se va construir un mosaico de piedra en forma de pez como indica la figura adjunta, definida por las parábolas $y_1 = -\frac{1}{10}x^2 + x + 5$ e $y_2 = \frac{1}{10}x^2 - x + 5$, entre $x = 0$ y $x = 12$. Los valores de $x$ e $y$ se expresan en metros.
a) Determinar la superficie total de la figura.
b) Para construir el mosaico, la empresa A asegura que es capaz de recubrir de piedra $1\ m^2$ de superficie en 1.5 horas de trabajo, y cobra cada hora a 120€. La empresa B afirma que tarda 2 horas en recubrir $1\ m^2$ de superficie y cobra la hora a 85€. Asimismo, la empresa A cobra 10€ por $m^2$ de piedra, mientras que la empresa B cobra 12€/$m^2$ por el mismo tipo de piedra. ¿Qué empresa hará el trabajo con un menor coste?
Paso 1
Identificar las funciones y puntos de corte
**a) Determinar la superficie total de la figura.**
Primero, identificamos las funciones que delimitan el pez y buscamos sus puntos de corte para saber cómo integrar.
Las parábolas son:
$y_1 = -\frac{1}{10}x^2 + x + 5$
$y_2 = \frac{1}{10}x^2 - x + 5$
Igualamos ambas funciones para hallar los puntos donde se cruzan:
$$-\frac{1}{10}x^2 + x + 5 = \frac{1}{10}x^2 - x + 5$$
Simplificamos restando 5 en ambos lados y agrupando términos:
$$-\frac{2}{10}x^2 + 2x = 0 \implies -0.2x^2 + 2x = 0$$
Factorizamos:
$$-0.2x(x - 10) = 0$$
Las soluciones son **$x = 0$** y **$x = 10$**.
Como el enunciado nos pide calcular la superficie entre $x=0$ y $x=12$, el recinto está dividido en dos partes por el punto de corte $x=10$.
Paso 2
Plantear las integrales para el área total
Para calcular el área total, debemos observar qué función está por encima en cada intervalo dentro de $[0, 12]$.
1. **Intervalo $[0, 10]$**: Probamos con $x=5$:
$y_1(5) = -2.5 + 5 + 5 = 7.5$
$y_2(5) = 2.5 - 5 + 5 = 2.5$
Como $y_1 > y_2$, el área es $\int_{0}^{10} (y_1 - y_2) \, dx$.
2. **Intervalo $[10, 12]$**: Probamos con $x=11$:
$y_1(11) = -12.1 + 11 + 5 = 3.9$
$y_2(11) = 12.1 - 11 + 5 = 6.1$
Como $y_2 > y_1$, el área es $\int_{10}^{12} (y_2 - y_1) \, dx$.
💡 **Tip:** El área entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en un intervalo $[a, b]$ se calcula como $\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$.
$$S = \int_{0}^{10} ( -0.2x^2 + 2x ) \, dx + \int_{10}^{12} ( 0.2x^2 - 2x ) \, dx$$
Paso 3
Calcular la primera parte de la superficie (cuerpo del pez)
Calculamos la integral del primer recinto $S_1$ entre $x=0$ y $x=10$ aplicando la Regla de Barrow:
$$S_1 = \int_{0}^{10} (-0.2x^2 + 2x) \, dx = \left[ -\frac{0.2x^3}{3} + x^2 \right]_0^{10}$$
Evaluamos en los límites:
$$S_1 = \left( -\frac{0.2(1000)}{3} + 100 \right) - (0) = -\frac{200}{3} + \frac{300}{3} = \frac{100}{3} \approx 33.33 \text{ m}^2$$
💡 **Tip:** Recuerda que la integral de $x^n$ es $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.
Paso 4
Calcular la segunda parte de la superficie (cola del pez)
Calculamos la integral del segundo recinto $S_2$ entre $x=10$ y $x=12$:
$$S_2 = \int_{10}^{12} (0.2x^2 - 2x) \, dx = \left[ \frac{0.2x^3}{3} - x^2 \right]_{10}^{12}$$
Evaluamos en los límites:
$$S_2 = \left( \frac{0.2(1728)}{3} - 144 \right) - \left( \frac{0.2(1000)}{3} - 100 \right)$$
$$S_2 = (115.2 - 144) - (66.67 - 100) = -28.8 - (-33.33) = 4.53 \text{ m}^2$$
Sumamos ambas áreas para obtener la superficie total:
$$S_{total} = \frac{100}{3} + \frac{68}{15} = \frac{500 + 68}{15} = \frac{568}{15} \approx 37.87 \text{ m}^2$$
✅ **Resultado superficie:**
$$\boxed{S = 37.87 \text{ m}^2}$$
Paso 5
Analizar costes de la Empresa A
**b) ¿Qué empresa hará el trabajo con un menor coste?**
Calculamos primero el coste por metro cuadrado para la **Empresa A**:
- Tiempo por $m^2$: $1.5$ horas.
- Coste mano de obra: $120$ €/h.
- Coste material (piedra): $10$ €/$m^2$.
Coste unitario A = $(1.5 \text{ h/m}^2 \cdot 120 \text{ €/h}) + 10 \text{ €/m}^2 = 180 + 10 = 190 \text{ €/m}^2$.
Coste total A = $37.87 \text{ m}^2 \cdot 190 \text{ €/m}^2 = 7195.30$ €.
Paso 6
Analizar costes de la Empresa B y conclusión
Calculamos ahora el coste por metro cuadrado para la **Empresa B**:
- Tiempo por $m^2$: $2$ horas.
- Coste mano de obra: $85$ €/h.
- Coste material (piedra): $12$ €/$m^2$.
Coste unitario B = $(2 \text{ h/m}^2 \cdot 85 \text{ €/h}) + 12 \text{ €/m}^2 = 170 + 12 = 182 \text{ €/m}^2$.
Coste total B = $37.87 \text{ m}^2 \cdot 182 \text{ €/m}^2 = 6892.34$ €.
Comparando ambos resultados: $6892.34 < 7195.30$.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{La empresa B hará el trabajo con un menor coste (ahorro de unos 303 euros)}}$$