Álgebra 2019 Canarias
Distribución del alumnado por niveles educativos
En un centro educativo se imparten enseñanzas de ESO, Bachillerato y Ciclos Formativos. Si sumamos el 20% del alumnado de ESO, con el 20% del alumnado de Bachillerato y el 40% del alumnado de Ciclos Formativos se obtienen 42 alumnos más que el 20% del alumnado total del centro. Asimismo si sumamos el número de alumnos de ESO más la mitad de los de Ciclos Formativos obtenemos 40 alumnos menos que el total de matriculados en Bachillerato. Si el centro tiene en total 1115 alumnos,
a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.
b) Hallar el número de matriculados en cada tipo de enseñanza.
Paso 1
Definición de variables y planteamiento de las ecuaciones
**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.**
Primero, definimos las variables que representan las incógnitas del problema:
- $x$: número de alumnos matriculados en **ESO**.
- $y$: número de alumnos matriculados en **Bachillerato**.
- $z$: número de alumnos matriculados en **Ciclos Formativos**.
El total de alumnos es $x + y + z = 1115$.
Traducción de las condiciones del enunciado:
1. **Condición 1 (porcentajes):** "El 20% de ESO + 20% de Bachillerato + 40% de Ciclos = 20% del total + 42".
$$0,20x + 0,20y + 0,40z = 0,20(x + y + z) + 42$$
Como sabemos que $x + y + z = 1115$:
$$0,2x + 0,2y + 0,4z = 0,2(1115) + 42$$
$$0,2x + 0,2y + 0,4z = 223 + 42 \implies 0,2x + 0,2y + 0,4z = 265$$
Multiplicando por 5 para simplificar: **$x + y + 2z = 1325$**.
2. **Condición 2 (relación entre niveles):** "ESO + mitad de Ciclos = Bachillerato - 40".
$$x + \frac{1}{2}z = y - 40$$
Multiplicando por 2: $2x + z = 2y - 80 \implies$ **$2x - 2y + z = -80$**.
3. **Condición 3 (total):**
**$x + y + z = 1115$**.
💡 **Tip:** Al plantear problemas de mezclas o grupos, intenta simplificar las ecuaciones decimales multiplicando por un factor común (como 5 o 10) para trabajar con números enteros.
✅ **Resultado (Sistema planteado):**
$$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 1115 \\ x + y + 2z = 1325 \\ 2x - 2y + z = -80 \end{cases}}$$
Paso 2
Resolución del sistema: Cálculo de z
**b) Hallar el número de matriculados en cada tipo de enseñanza.**
Vamos a resolver el sistema utilizando el método de reducción (o Gauss). Observamos que las dos primeras ecuaciones son muy parecidas:
(1) $x + y + z = 1115$
(2) $x + y + 2z = 1325$
Restamos la ecuación (1) a la ecuación (2):
$$(x + y + 2z) - (x + y + z) = 1325 - 1115$$
$$z = 210$$
💡 **Tip:** Antes de aplicar métodos complejos como la Regla de Cramer, observa si restando filas puedes eliminar variables rápidamente.
$$\boxed{z = 210 \text{ alumnos en Ciclos Formativos}}$$
Paso 3
Cálculo de x e y
Ahora sustituimos $z = 210$ en las ecuaciones (1) y (3) para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
En (1): $x + y + 210 = 1115 \implies x + y = 905$
En (3): $2x - 2y + 210 = -80 \implies 2x - 2y = -290$
Simplificamos la segunda ecuación dividiendo entre 2:
$x - y = -145$
Sumamos ambas ecuaciones para eliminar $y$:
$$(x + y) + (x - y) = 905 - 145$$
$$2x = 760 \implies x = \frac{760}{2} = 380$$
Finalmente, calculamos $y$ usando $x + y = 905$:
$$380 + y = 905 \implies y = 905 - 380 = 525$$
✅ **Resultado (Solución):**
$$\boxed{\begin{cases} x = 380 \text{ (ESO)} \\ y = 525 \text{ (Bachillerato)} \\ z = 210 \text{ (Ciclos Formativos)} \end{cases}}$$