Inferencia estadística: Intervalo de confianza y media muestral

**a) ¿Cuál es la media muestral obtenida?** Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 225$ - Intervalo de confianza ($IC$): $[407,72, 442,28]$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 90$ Sabemos que el intervalo de confianza para la media poblacional se construye como $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, donde $\bar{x}$ es la media muestral. Por tanto, la media muestral es el punto medio del intervalo. Calculamos la media muestral: $$\bar{x} = \frac{407,72 + 442,28}{2}$$ $$\bar{x} = \frac{850}{2} = 425$$ 💡 **Tip:** En cualquier intervalo de confianza para la media, la media muestral $\bar{x}$ siempre se encuentra exactamente en el centro del intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{x} = 425 \text{ euros}}$$

**b) ¿Cuál es el nivel de confianza utilizado?** El error máximo admisible ($E$) es la mitad de la amplitud del intervalo: $$E = \frac{442,28 - 407,72}{2} = \frac{34,56}{2} = 17,28$$ La fórmula del error para la media es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos para despejar $z_{\alpha/2}$: $$17,28 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{90}{\sqrt{225}}$$ $$17,28 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{90}{15}$$ $$17,28 = z_{\alpha/2} \cdot 6$$ $$z_{\alpha/2} = \frac{17,28}{6} = 2,88$$ 💡 **Tip:** El valor $z_{\alpha/2}$ es el valor crítico que deja un área de $1-\alpha$ en el centro de la distribución normal estándar.

Buscamos en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$ la probabilidad correspondiente al valor $z_{\alpha/2} = 2,88$: $$P(Z \le 2,88) = 0,9980$$ Esta probabilidad corresponde a $1 - \frac{\alpha}{2}$. Por tanto: $$1 - \frac{\alpha}{2} = 0,9980 \implies \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,9980 = 0,002$$ Calculamos $\alpha$: $$\alpha = 0,002 \cdot 2 = 0,004$$ El nivel de confianza es $1 - \alpha$: $$1 - \alpha = 1 - 0,004 = 0,996$$ Expresado en porcentaje, el nivel de confianza es del $99,6\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Nivel de confianza} = 99,6\%}$$

**c) Usando la estimación puntual de la prestación social media obtenida en el apartado a), ¿cuál es la probabilidad de que la media de la prestación social de 25 parados sea mayor o igual que 430 euros?** En este apartado, nos piden trabajar con una nueva muestra de tamaño $n' = 25$. La media de las prestaciones de estos parados se distribuye según una normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n'}}\right)$$ Utilizamos como media poblacional $\mu = 425$ (estimación puntual obtenida en el apartado a) y $\sigma = 90$: $$\text{Desviación típica de la media} = \frac{90}{\sqrt{25}} = \frac{90}{5} = 18$$ Por tanto, $\bar{X} \sim N(425, 18)$. Queremos calcular $P(\bar{X} \ge 430)$. 💡 **Tip:** Cuando trabajamos con la media de una muestra, la desviación típica se reduce dividiendo por la raíz cuadrada del tamaño de dicha muestra.

Tipificamos la variable para poder usar la tabla $N(0,1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}}$: $$P(\bar{X} \ge 430) = P\left(Z \ge \frac{430 - 425}{18}\right)$$ $$P(Z \ge \frac{5}{18}) = P(Z \ge 0,2777...)$$ Redondeando a dos decimales para usar la tabla, obtenemos $P(Z \ge 0,28)$. Como la tabla nos da valores de $P(Z \le z)$, aplicamos la propiedad del suceso contrario: $$P(Z \ge 0,28) = 1 - P(Z \lt 0,28)$$ Buscamos $0,28$ en la tabla: $$P(Z \lt 0,28) = 0,6103$$ Calculamos el resultado final: $$P(\bar{X} \ge 430) = 1 - 0,6103 = 0,3897$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \ge 430) = 0,3897}$$