Probabilidad y Estadística 2019 Canarias
Producción de altavoces y Teorema de Bayes
2. Una empresa fabrica altavoces para equipos de cine en casa en tres factorías situadas en Japón, Alemania y España. Estos altavoces son de 4 tipos: central, delanteros, efectos y “subwoofer”. En Japón se fabrican altavoces de los 4 tipos siendo idéntica la cantidad de cada uno. En Alemania sólo se fabrican los “subwoofer” y de efectos, siendo la producción de los de efectos doble que los otros. En España se fabrican todos menos el “subwoofer”, con idéntica producción de cada tipo. Finalmente, también sabemos que la producción de la fábrica de Japón es doble que la de Alemania, y ésta coincide con la española.
a) Construir el árbol de probabilidades.
b) Elegido, al azar un altavoz fabricado por esta empresa, ¿cuál es la probabilidad de que sea un altavoz central?
c) Si compramos un altavoz central de esta empresa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en España?
Paso 1
Definición de eventos y cálculo de probabilidades de las fábricas
**a) Construir el árbol de probabilidades.**
Primero, definimos los sucesos principales relativos a las fábricas:
- $J$: Altavoz fabricado en Japón.
- $A$: Altavoz fabricado en Alemania.
- $E$: Altavoz fabricado en España.
El enunciado nos da las relaciones de producción:
1. La producción de Japón es el doble que la de Alemania: $P(J) = 2 \cdot P(A)$.
2. La producción de Alemania coincide con la española: $P(A) = P(E)$.
Como la suma de las probabilidades debe ser 1:
$$P(J) + P(A) + P(E) = 1$$
Sustituimos todo en función de $P(A)$:
$$2P(A) + P(A) + P(A) = 1 \implies 4P(A) = 1 \implies P(A) = 0.25$$
Por tanto:
- $P(A) = 0.25$ (o $1/4$)
- $P(E) = 0.25$ (o $1/4$)
- $P(J) = 2 \cdot 0.25 = 0.5$ (o $1/2$)
💡 **Tip:** Siempre que tengas relaciones entre partes de un total, usa una incógnita $x$ para la parte más pequeña y plantea una ecuación que sume 1.
Paso 2
Probabilidades condicionadas por tipo de altavoz
Definimos los tipos de altavoz:
- $C$: Central, $D$: Delanteros, $F$: Efectos, $S$: Subwoofer.
Analizamos la producción interna de cada fábrica:
- **Japón ($J$):** Fabrica los 4 tipos por igual.
$$P(C|J) = P(D|J) = P(F|J) = P(S|J) = \frac{1}{4}$$
- **Alemania ($A$):** Solo $S$ y $F$. Los de efectos ($F$) son el doble que los subwoofer ($S$).
$P(F|A) = 2P(S|A)$. Como $P(F|A) + P(S|A) = 1 \implies 3P(S|A) = 1$.
$$P(S|A) = \frac{1}{3}, \quad P(F|A) = \frac{2}{3}$$
- **España ($E$):** Fabrica todos menos el subwoofer ($S$), por igual.
$$P(C|E) = P(D|E) = P(F|E) = \frac{1}{3}$$
💡 **Tip:** Si una fábrica no produce un tipo, su probabilidad condicionada es 0.
Paso 3
Construcción del árbol de probabilidades
Con los datos obtenidos, dibujamos el árbol de decisión:
Paso 4
Cálculo de la probabilidad de altavoz central
**b) Elegido, al azar un altavoz fabricado por esta empresa, ¿cuál es la probabilidad de que sea un altavoz central?**
Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. El evento "ser central" ($C$) puede ocurrir a través de las fábricas de Japón o España (Alemania no los fabrica).
$$P(C) = P(J) \cdot P(C|J) + P(A) \cdot P(C|A) + P(E) \cdot P(C|E)$$
Sustituimos los valores:
$$P(C) = 0.5 \cdot \frac{1}{4} + 0.25 \cdot 0 + 0.25 \cdot \frac{1}{3}$$
$$P(C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$$
$$P(C) = \frac{1}{8} + \frac{1}{12}$$
Para sumar, buscamos denominador común ($24$):
$$P(C) = \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{5}{24}$$
En decimal aproximado:
$$P(C) \approx 0.2083$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C) = \frac{5}{24} \approx 0.2083}$$
Paso 5
Cálculo de la probabilidad condicionada (Bayes)
**c) Si compramos un altavoz central de esta empresa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en España?**
Nos piden la probabilidad de que provenga de España sabiendo que es central: $P(E|C)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(E|C) = \frac{P(E \cap C)}{P(C)} = \frac{P(E) \cdot P(C|E)}{P(C)}$$
Ya conocemos los valores:
- $P(E) \cdot P(C|E) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$
- $P(C) = \frac{5}{24}$
Sustituimos:
$$P(E|C) = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{24}}$$
Operamos con la fracción:
$$P(E|C) = \frac{1}{12} \cdot \frac{24}{5} = \frac{24}{60}$$
Simplificamos dividiendo entre 12:
$$P(E|C) = \frac{2}{5} = 0.4$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una "causa" (España) dado un "efecto" observado (altavoz central).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(E|C) = 0.4}$$