Estudio del beneficio de una empresa

**a) ¿Cuándo ha crecido y ha decrecido $b(t)$ ?** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, debemos calcular la derivada de la función $b(t)$ en cada tramo del dominio $t \in [0, 5]$: 1. **Tramo 1 ($0 \lt t \lt 3$):** $b(t) = 2t$. Su derivada es $b'(t) = 2$. 2. **Tramo 2 ($3 \lt t \lt 5$):** $b(t) = 6 - \frac{(t - 3)^2}{2}$. Derivamos usando la regla de la cadena: $$b'(t) = 0 - \frac{2(t - 3)}{2} = -(t - 3) = 3 - t.$$ Analizamos el signo de la derivada en cada intervalo: - En $(0, 3)$, $b'(t) = 2 > 0$. La función es **creciente**. - En $(3, 5)$, $b'(t) = 3 - t$. Como $t > 3$, entonces $3 - t < 0$. La función es **decreciente**. $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 3) & 3 & (3, 5) \\ \hline b'(t) & + & \nexists & - \\ \hline b(t) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Aunque la derivada no existe en $t=3$ (ya que las derivadas laterales $2$ y $0$ no coinciden), la función es continua en ese punto, lo que permite el cambio de monotonía. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } [0, 3] \text{ y decreciente en } [3, 5]}$$

**b) En su caso, determinar cuándo se observan los máximos y mínimos locales de $b(t)$, así como los correspondientes valores.** Basándonos en el análisis de la monotonía del apartado anterior y evaluando los extremos del intervalo $[0, 5]$: 1. **En $t = 0$:** Es el inicio del estudio. $b(0) = 2(0) = 0$. Al empezar a crecer desde aquí, es un **mínimo local**. 2. **En $t = 3$:** La función pasa de crecer a decrecer y es continua ($b(3) = 2 \cdot 3 = 6$). Por tanto, hay un **máximo local** (y absoluto en este caso). 3. **En $t = 5$:** Es el final del intervalo. $b(5) = 6 - \frac{(5-3)^2}{2} = 6 - \frac{4}{2} = 4$. Como la función venía decreciendo, es un **mínimo local**. 💡 **Tip:** Recuerda que los extremos locales pueden darse donde $b'(t)=0$, donde no existe la derivada o en los extremos del dominio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Máximo local en } t = 3 \text{ con valor } 6 \text{ (600.000 €)} \\ & \text{Mínimos locales en } t = 0 \text{ (valor 0) y } t = 5 \text{ (valor 4, es decir, 400.000 €)} \end{aligned}}$$

Para visualizar mejor los resultados obtenidos, representamos la función beneficio en su dominio. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "b_func", "latex": "b(t) = \\{0 \\le t \\le 3: 2t, 3 < t \\le 5: 6 - \\frac{(t-3)^2}{2}\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "max", "latex": "(3, 6)", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Máximo (3, 6)" }, { "id": "min1", "latex": "(0, 0)", "color": "#16a34a", "showLabel": true, "label": "Mínimo (0, 0)" }, { "id": "min2", "latex": "(5, 4)", "color": "#16a34a", "showLabel": true, "label": "Mínimo (5, 4)" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 6, "bottom": -1, "top": 7 } } }

**c) ¿Cuándo el beneficio fue igual a 500.000 euros?** Dado que el beneficio $b(t)$ está expresado en cientos de miles de euros, 500.000 euros equivalen a **$b(t) = 5$**. Debemos resolver la ecuación en ambos tramos: **Tramo 1 ($t \in [0, 3]$):** $$2t = 5 \implies t = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ años}.$$ Como $2.5 \in [0, 3]$, es una solución válida. **Tramo 2 ($t \in ]3, 5]$):** $$6 - \frac{(t - 3)^2}{2} = 5$$ $$1 = \frac{(t - 3)^2}{2} \implies (t - 3)^2 = 2$$ $$t - 3 = \pm \sqrt{2} \implies t = 3 \pm \sqrt{2}.$$ - $t_1 = 3 + \sqrt{2} \approx 4.41$ años. Está en el intervalo $(3, 5]$, es válida. - $t_2 = 3 - \sqrt{2} \approx 1.59$ años. **No** está en este tramo (pertenece al tramo 1), por lo que se descarta aquí. 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de que las soluciones obtenidas pertenezcan al intervalo de la rama de la función que estás utilizando. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El beneficio fue de 500.000 € a los 2.5 años y a los } 3 + \sqrt{2} \approx 4.41 \text{ años}}$$