Optimización de plazas de guagua

**a) Formular el correspondiente problema de programación lineal y representar la región factible.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: $x =$ número de plazas de tipo A. $y =$ número de plazas de tipo B. El objetivo es maximizar el ingreso total. Según los precios dados (65€ para el tipo A y 95€ para el tipo B), la función objetivo será: $$f(x, y) = 65x + 95y$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre las variables según lo que te pide la pregunta final (en este caso, cuántas plazas de cada tipo).

A continuación, extraemos las limitaciones del enunciado en forma de inecuaciones: 1. **Capacidad total de plazas:** No pueden superarse las 90 plazas en total. $$x + y \le 90$$ 2. **Capacidad de equipaje:** El peso total no puede exceder los 3000 kg. Sabiendo que las de tipo A llevan 30 kg y las de tipo B llevan 50 kg: $$30x + 50y \le 3000$$ Podemos simplificar esta inecuación dividiendo por 10: $3x + 5y \le 300$. 3. **No negatividad:** El número de plazas no puede ser negativo. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El problema de programación lineal queda formulado como: $$\text{Maximizar } Z = 65x + 95y$$ $$\text{Sujeto a: } \begin{cases} x + y \le 90 \\ 3x + 5y \le 300 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones facilita mucho los cálculos posteriores de los puntos de corte.

Para representar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones y determinamos el semiplano que cumplen: - **Recta $r_1$ ($x + y = 90$):** Pasa por $(0, 90)$ y $(90, 0)$. Como $(0,0)$ cumple $0+0 \le 90$, el semiplano es el que contiene al origen. - **Recta $r_2$ ($3x + 5y = 300$):** Pasa por $(0, 60)$ y $(100, 0)$. Como $(0,0)$ cumple $0+0 \le 300$, el semiplano es el que contiene al origen. La región factible es el polígono sombreado cuyos vértices calcularemos en el siguiente paso.

Los vértices de la región factible son: - **$O(0, 0)$**: Origen de coordenadas. - **$A$**: Corte de $r_1$ con el eje $X$ ($y=0$): $x + 0 = 90 \implies A(90, 0)$. - **$B$**: Intersección de $r_1$ y $r_2$: $$\begin{cases} x + y = 90 \implies x = 90 - y \\ 3x + 5y = 300 \end{cases}$$ Sustituimos $x$ en la segunda ecuación: $$3(90 - y) + 5y = 300$$ $$270 - 3y + 5y = 300 \implies 2y = 30 \implies y = 15$$ $$x = 90 - 15 = 75 \implies B(75, 15)$$ - **$C$**: Corte de $r_2$ con el eje $Y$ ($x=0$): $3(0) + 5y = 300 \implies y = 60 \implies C(0, 60)$. Los vértices son: **$O(0, 0)$, $A(90, 0)$, $B(75, 15)$ y $C(0, 60)$**.

**b) ¿Cuántas plazas de cada tipo determinan la solución óptima? ¿Cuál es el ingreso total óptimo?** Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 65x + 95y$ en cada uno de los vértices: - $f(0, 0) = 65(0) + 95(0) = 0€$ - $f(90, 0) = 65(90) + 95(0) = 5850€$ - $f(75, 15) = 65(75) + 95(15) = 4875 + 1425 = 6300€$ - $f(0, 60) = 65(0) + 95(60) = 5700€$ El valor máximo se alcanza en el punto $B(75, 15)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La solución óptima es vender 75 plazas de tipo A y 15 plazas de tipo B, obteniendo un ingreso de 6300€}}$$