Inferencia estadística: Estimación de la proporción

**a) A partir de estudios realizados en poblaciones similares, se cree que el porcentaje de daltónicos en esta población está en torno al $30\%$. Utilizando este valor, calcular el tamaño de la muestra para que, con un nivel de confianza del $0,95$, el error cometido en la estimación de $p$ sea inferior al $3,1\%$.** Primero, identificamos los datos proporcionados: - Proporción estimada de la población: $p = 0,30$ - Proporción complementaria: $q = 1 - p = 1 - 0,30 = 0,70$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$ - Error máximo permitido: $E < 0,031$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al $95\%$ de confianza: 1. $\alpha = 1 - 0,95 = 0,05$ 2. $\alpha/2 = 0,025$ 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,9750$. Consultando la tabla de la normal estándar $N(0,1)$, encontramos que para una probabilidad de $0,9750$, el valor es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,96}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1,645$ para el $90\%$, $1,96$ para el $95\%$ y $2,575$ para el $99\%$. Es útil memorizarlos o saber buscarlos rápidamente en la tabla.

Utilizamos la fórmula del error para la estimación de una proporción y despejamos el tamaño de la muestra $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p \cdot q}{E^2}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$n = \frac{(1,96)^2 \cdot 0,30 \cdot 0,70}{(0,031)^2}$$ $$n = \frac{3,8416 \cdot 0,21}{0,000961}$$ $$n = \frac{0,806736}{0,000961} \approx 839,4755$$ Como el error debe ser **inferior** al $3,1\%$, debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que el error no supere ese límite. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 840 \text{ individuos}}$$

**b) Finalmente se toma una muestra de $64$ individuos, en la que se observa un $35\%$ de individuos daltónicos. Determinar, usando un nivel de confianza del $99\%$, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de daltónicos de la población.** Extraemos los nuevos datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 64$ - Proporción muestral: $\hat{p} = 0,35$ - Complemento: $\hat{q} = 1 - 0,35 = 0,65$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,99$ Determinamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $99\%$: 1. $\alpha = 1 - 0,99 = 0,01$ 2. $\alpha/2 = 0,005$ 3. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,005 = 0,9950$. En la tabla $N(0,1)$, la probabilidad $0,9950$ se encuentra justo entre $z = 2,57$ y $z = 2,58$. Tomamos el valor medio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,575}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no está en la tabla, se puede interpolar o usar el valor más cercano. En selectividad se suele aceptar tanto $2,57$, $2,58$ como $2,575$.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error de la estimación: $$E = 2,575 \cdot \sqrt{\frac{0,35 \cdot 0,65}{64}}$$ $$E = 2,575 \cdot \sqrt{\frac{0,2275}{64}}$$ $$E = 2,575 \cdot \sqrt{0,0035546875}$$ $$E = 2,575 \cdot 0,05962 \approx 0,1535$$ Ahora formamos el intervalo: $$I.C. = (0,35 - 0,1535 \, , \, 0,35 + 0,1535)$$ $$I.C. = (0,1965 \, , \, 0,5035)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0,1965, 0,5035)}$$ Expresado en porcentajes, el intervalo de confianza es del **$[19,65\%, 50,35\%]$**.