Distribución normal y distribución de la media muestral

**a) El porcentaje de jóvenes de esa región, con diabetes tipo 2 que pesa entre 86 y 100 kilogramos.** Primero, definimos la variable aleatoria que describe el experimento: $X = $ "Peso de un joven con diabetes tipo 2 en kilogramos". Según el enunciado, la variable sigue una distribución normal con media $\mu = 89$ y desviación típica $\sigma = 20$. Por tanto: $$X \sim N(89, 20)$$ Queremos calcular la probabilidad de que el peso esté comprendido entre $86$ y $100$ kg, es decir: $P(86 \le X \le 100)$. 💡 **Tip:** Para trabajar con cualquier distribución normal $N(\mu, \sigma)$, debemos transformarla en una normal estándar $N(0, 1)$ mediante el proceso de **tipificación**.

Para tipificar la variable $X$ utilizamos la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(86 \le X \le 100) = P\left( \frac{86 - 89}{20} \le Z \le \frac{100 - 89}{20} \right)$$ $$P(-0.15 \le Z \le 0.55)$$ Utilizamos las propiedades de la distribución normal para calcular esta probabilidad: $$P(-0.15 \le Z \le 0.55) = P(Z \le 0.55) - P(Z \le -0.15)$$ Como la tabla de la normal estándar solo ofrece valores positivos, aplicamos la simetría para $P(Z \le -0.15)$: $$P(Z \le -0.15) = P(Z \ge 0.15) = 1 - P(Z \le 0.15)$$ Sustituyendo en la expresión anterior: $$P(86 \le X \le 100) = P(Z \le 0.55) - (1 - P(Z \le 0.15))$$ 💡 **Tip:** Recuerda que por simetría $P(Z \le -a) = 1 - P(Z \le a)$.

Buscamos los valores en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$: - $P(Z \le 0.55) = 0.7088$ - $P(Z \le 0.15) = 0.5596$ Calculamos: $$P(86 \le X \le 100) = 0.7088 - (1 - 0.5596) = 0.7088 - 0.4404 = 0.2684$$ Para expresar el resultado en porcentaje, multiplicamos por $100$: $$\% = 0.2684 \cdot 100 = 26.84\%$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{26.84\%}$$

**b) La probabilidad de que el peso medio de un grupo de 25 jóvenes de esa región, con diabetes tipo 2, sea superior a 90 kilogramos.** En este caso no estudiamos a un individuo, sino la media de una muestra de tamaño $n = 25$. Si $X \sim N(\mu, \sigma)$, entonces la distribución de la media muestral $\bar{X}$ sigue una normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos los nuevos parámetros: - Nueva media: $\mu = 89$ - Nueva desviación típica (error estándar): $\sigma_{\bar{x}} = \frac{20}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} = 4$ Por tanto, la variable media muestral se distribuye como: $$\bar{X} \sim N(89, 4)$$ 💡 **Tip:** El Teorema del Límite Central nos asegura que, si la población de origen es normal, la media muestral también lo es, independientemente del tamaño de la muestra.

Queremos calcular $P(\bar{X} > 90)$. Tipificamos la variable $\bar{X}$ utilizando su desviación típica específica ($4$): $$P(\bar{X} > 90) = P\left( Z > \frac{90 - 89}{4} \right)$$ $$P(Z > 0.25)$$ Como la tabla solo nos da probabilidades para $Z \le z$, usamos el suceso complementario: $$P(Z > 0.25) = 1 - P(Z \le 0.25)$$ Buscamos en la tabla $N(0, 1)$ el valor $0.25$: - $P(Z \le 0.25) = 0.5987$ Calculamos el resultado final: $$P(\bar{X} > 90) = 1 - 0.5987 = 0.4013$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{0.4013}$$