Área de una superficie y costes de construcción

**a) Representar la superficie.** Para representar la superficie limitada por las curvas, primero debemos encontrar los puntos donde se cortan. Igualamos ambas funciones: $$(x-3)^2 = -3x+9$$ Desarrollamos el binomio al cuadrado y resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x^2 - 6x + 9 = -3x + 9$$ $$x^2 - 3x = 0$$ $$x(x-3) = 0$$ Esto nos da dos soluciones para la abscisa $x$: 1. $x_1 = 0 \implies y_1 = -3(0)+9 = 9$ 2. $x_2 = 3 \implies y_2 = -3(3)+9 = 0$ Los puntos de corte son **$(0, 9)$** y **$(3, 0)$**. Como el enunciado indica las restricciones $x \geq 0, y \geq 0$, trabajaremos exclusivamente en el primer cuadrante. La función $y=(x-3)^2$ es una parábola con vértice en $(3,0)$ que abre hacia arriba, y la función $y=-3x+9$ es una recta decreciente. 💡 **Tip:** Para representar una parábola $y=ax^2+bx+c$, el vértice se encuentra en $x = -b/2a$. En este caso, al ser $(x-3)^2$, el vértice es directamente el punto donde la base es cero.

A continuación se muestra la representación de la superficie limitada por la recta y la parábola en el intervalo $[0, 3]$. En esta región, la recta $y = -3x+9$ queda por encima de la parábola $y = (x-3)^2$.

**b) Para hacerla transitable, se ha de rellenar de hormigón cuyo coste (incluido trabajo y transporte) es de 70 euros por metro cuadrado. Si se desperdicia las dos novenas partes del hormigón comprado, ¿cuánto costará hacer el relleno?** Primero calculamos el área $A$ de la superficie mediante una integral definida entre los puntos de corte $x=0$ y $x=3$: $$A = \int_{0}^{3} [(-3x+9) - (x-3)^2] \, dx$$ Simplificamos el integrando: $$A = \int_{0}^{3} (-3x+9 - (x^2-6x+9)) \, dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) \, dx$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{3}$$ Calculamos los valores: $$F(3) = -\frac{3^3}{3} + \frac{3(3^2)}{2} = -9 + \frac{27}{2} = -9 + 13.5 = 4.5$$ $$F(0) = -\frac{0^3}{3} + \frac{3(0^2)}{2} = 0$$ $$A = 4.5 - 0 = 4.5 \text{ m}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en un intervalo $[a,b]$ es $\int_{a}^{b} (\text{superior} - \text{inferior}) \, dx$. $$\boxed{A = 4.5 \text{ m}^2}$$

Sabemos que el área a cubrir es de $4.5 \text{ m}^2$. El enunciado dice que se desperdician $\frac{2}{9}$ del hormigón comprado. Si llamamos $H$ a la cantidad de hormigón comprado, la cantidad que realmente se utiliza es: $$H - \frac{2}{9}H = \frac{7}{9}H$$ Igualamos esta cantidad al área necesaria: $$\frac{7}{9}H = 4.5 \implies H = \frac{4.5 \cdot 9}{7} = \frac{40.5}{7} \text{ m}^2$$ El coste total se obtiene multiplicando los metros cuadrados comprados por el precio unitario (70 €/m²): $$\text{Coste} = H \cdot 70 = \frac{40.5}{7} \cdot 70$$ $$\text{Coste} = 40.5 \cdot 10 = 405 \text{ euros}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{405 \text{ €}}$$