Sistema de ecuaciones: Precios de material escolar

**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.** Primero, definimos las incógnitas basándonos en lo que nos pide el problema. Llamaremos: - $x$: precio de un lápiz (en euros). - $y$: precio de un impreso (en euros). - $z$: precio de una carpeta (en euros). Traducimos cada frase del enunciado a lenguaje algebraico: 1. "Paga 3 euros por tres lápices, un impreso y dos carpetas": $$3x + y + 2z = 3$$ 2. "El doble del precio de un lápiz excede en cinco céntimos a la suma de un impreso y una carpeta": Recuerda pasar los céntimos a euros ($5 \text{ cts} = 0,05$ €): $$2x = (y + z) + 0,05 \implies 2x - y - z = 0,05$$ 3. "Si cada lápiz costara cinco céntimos más ($x + 0,05$), su precio duplicaría al de una carpeta": $$x + 0,05 = 2z \implies x - 2z = -0,05$$ 💡 **Tip:** Es fundamental trabajar siempre en las mismas unidades. Como el total está en euros, convertimos los 5 céntimos a $0,05$ €.

Agrupamos las ecuaciones obtenidas para formar el sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas: $$\begin{cases} 3x + y + 2z = 3 \\ 2x - y - z = 0,05 \\ x - 2z = -0,05 \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\begin{cases} 3x + y + 2z = 3 \\ 2x - y - z = 0,05 \\ x - 2z = -0,05 \end{cases}}$$

**b) Calcular el precio de cada lápiz, impreso y carpeta.** Para resolver el sistema, utilizaremos el método de Gauss. Escribimos la matriz ampliada asociada al sistema. Para facilitar los cálculos, colocaremos la tercera ecuación (que tiene un $1$ en la $x$) en la primera fila: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & -0,05 \\ 2 & -1 & -1 & 0,05 \\ 3 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right)$$ Realizamos transformaciones elementales para hacer ceros debajo del primer pivote: - $F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$ - $F_3 \leftarrow F_3 - 3F_1$ Operación $F_2$: $(2, -1, -1 | 0,05) - 2(1, 0, -2 | -0,05) = (0, -1, 3 | 0,15)$ Operación $F_3$: $(3, 1, 2 | 3) - 3(1, 0, -2 | -0,05) = (0, 1, 8 | 3,15)$ Nueva matriz: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & -0,05 \\ 0 & -1 & 3 & 0,15 \\ 0 & 1 & 8 & 3,15 \end{array}\right)$$

Ahora hacemos cero en la posición de la $y$ en la tercera fila sumando la segunda y la tercera: - $F_3 \leftarrow F_3 + F_2$ Operación $F_3$: $(0, 1, 8 | 3,15) + (0, -1, 3 | 0,15) = (0, 0, 11 | 3,30)$ La matriz escalonada final es: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & -0,05 \\ 0 & -1 & 3 & 0,15 \\ 0 & 0 & 11 & 3,30 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** En el método de Gauss, buscamos obtener una matriz triangular superior para resolver por sustitución regresiva.

A partir de la última matriz, obtenemos los valores de las variables de abajo hacia arriba: 1. De la tercera fila: $11z = 3,30$ $$z = \frac{3,30}{11} = 0,30$$ 2. De la segunda fila: $-y + 3z = 0,15$ $$-y + 3(0,30) = 0,15 \implies -y + 0,90 = 0,15 \implies y = 0,90 - 0,15 = 0,75$$ 3. De la primera fila: $x - 2z = -0,05$ $$x - 2(0,30) = -0,05 \implies x - 0,60 = -0,05 \implies x = 0,60 - 0,05 = 0,55$$ ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Lápiz } (x) &= 0,55 \text{ €} \\ \text{Impreso } (y) &= 0,75 \text{ €} \\ \text{Carpeta } (z) &= 0,30 \text{ €} \end{aligned}}$$