Invertibilidad y ecuaciones matriciales

**a) Calcúlense los valores de $a$ para los cuales la matriz $A$ no tiene matriz inversa.** Una matriz cuadrada $A$ no tiene inversa si y solo si su determinante es igual a cero ($|A| = 0$). Comenzamos calculando el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 4 & 2 \\ 1 & a & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (a \cdot a \cdot 1) + (4 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot 2) - [ (1 \cdot a \cdot 2) + (2 \cdot 0 \cdot a) + (1 \cdot 4 \cdot 1) ]$$ $$|A| = a^2 + 0 + 4 - (2a + 0 + 4)$$ $$|A| = a^2 + 4 - 2a - 4 = a^2 - 2a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una matriz sea invertible, su determinante debe ser distinto de cero. Si $|A|=0$, se dice que la matriz es singular.

Igualamos el determinante obtenido a cero para encontrar los valores de $a$ que hacen que la matriz no sea invertible: $$a^2 - 2a = 0$$ Factorizamos la ecuación de segundo grado: $$a(a - 2) = 0$$ Las soluciones son: 1. $a = 0$ 2. $a - 2 = 0 \implies a = 2$ ✅ **Resultado (valores de $a$):** $$\boxed{a = 0, \quad a = 2}$$ Por tanto, la matriz $A$ **no tiene inversa** para estos dos valores.

**b) Para $a = 3$, calcúlese la matriz inversa de $A$ y resuélvase la ecuación matricial $A \cdot X = B$.** Sustituimos $a = 3$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Primero calculamos su determinante usando la expresión hallada en el apartado anterior: $$|A| = a^2 - 2a = 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3$$ Como $|A| = 3 \neq 0$, la matriz es invertible. La fórmula de la matriz inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot [\text{Adj}(A)]^T$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el determinante en este paso debe ser el valor específico para el parámetro dado, no la expresión general.

Calculamos los adjuntos de cada elemento de la matriz $A$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3; \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1; \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 0; \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1; \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -2$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -6; \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2; \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 5$ La matriz de adjuntos es $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ -6 & 2 & 5 \end{pmatrix}$. Trasponemos la matriz adjunta y dividimos por el determinante: $$A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 0 & -6 \\ -1 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & 5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ -1/3 & 1/3 & 2/3 \\ -1/3 & -2/3 & 5/3 \end{pmatrix}}$$

Para resolver $A \cdot X = B$, despejamos $X$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot B \implies X = A^{-1} \cdot B$$ Sustituimos los valores conocidos: $$X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 0 & -6 \\ -1 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de la matriz por el vector: $$X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} (3 \cdot 9) + (0 \cdot 1) + (-6 \cdot 3) \\ (-1 \cdot 9) + (1 \cdot 1) + (2 \cdot 3) \\ (-1 \cdot 9) + (-2 \cdot 1) + (5 \cdot 3) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 27 + 0 - 18 \\ -9 + 1 + 6 \\ -9 - 2 + 15 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 9 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3 \\ -2/3 \\ 4/3 \end{pmatrix}}$$