Tangente horizontal y cálculo de áreas

**a) Determínese en qué puntos la tangente a la curva $y = f(x)$ es horizontal.** Para que la recta tangente a una función sea horizontal, su pendiente debe ser cero ($m=0$). Sabemos que la pendiente de la recta tangente en un punto $x$ viene dada por la derivada de la función en ese punto, $f'(x)$. Por tanto, buscamos los valores de $x$ que cumplen: $$f'(x) = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una recta horizontal tiene siempre pendiente $m=0$.

Derivamos la función $f(x) = 2x^3 - 8x$ usando la regla de la potencia: $$f'(x) = 6x^2 - 8$$ Ahora igualamos a cero para encontrar las abscisas ($x$): $$6x^2 - 8 = 0 \implies 6x^2 = 8 \implies x^2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$ Obtenemos dos posibles valores para $x$: $$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando (opcional, pero recomendado): $$x_1 = \frac{2\sqrt{3}}{3}, \quad x_2 = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$$ $$\boxed{x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}}$$

Un punto en el plano tiene coordenadas $(x, f(x))$. Calculamos la imagen de los valores obtenidos: 1. Para $x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$: $$f\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = 2\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^3 - 8\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = 2\left(\frac{8 \cdot 3\sqrt{3}}{27}\right) - \frac{16\sqrt{3}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{9} - \frac{48\sqrt{3}}{9} = -\frac{32\sqrt{3}}{9}$$ 2. Para $x = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$: Como la función es impar ($f(-x) = -f(x)$): $$f\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{32\sqrt{3}}{9}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P_1\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{32\sqrt{3}}{9}\right), \quad P_2\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{32\sqrt{3}}{9}\right)}$$

**b) Calcúlese el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de $f$, el eje de abscisas y las rectas $x = 0, x = 2$.** El área viene definida por la integral de la función entre los límites dados. Primero comprobamos si la función corta al eje de abscisas ($f(x)=0$) en el intervalo $(0, 2)$: $$2x^3 - 8x = 0 \implies 2x(x^2 - 4) = 0 \implies 2x(x-2)(x+2) = 0$$ Las raíces son $x=0$, $x=2$ y $x=-2$. En el intervalo abierto $(0, 2)$ no hay ninguna raíz, por lo que la función no cruza el eje en ese tramo. Comprobamos el signo de la función en $(0, 2)$ tomando $x=1$: $$f(1) = 2(1)^3 - 8(1) = -6 \lt 0$$ Como la función es negativa en este intervalo, el área será el valor absoluto de la integral o la integral de $-f(x)$. 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si la función está por debajo del eje $X$, calculamos $\int_a^b -f(x)dx$.

Calculamos la integral utilizando la Regla de Barrow: $$Area = \left| \int_{0}^{2} (2x^3 - 8x) \, dx \right| = - \int_{0}^{2} (2x^3 - 8x) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (2x^3 - 8x) \, dx = \frac{2x^4}{4} - \frac{8x^2}{2} = \frac{x^4}{2} - 4x^2$$ Aplicamos los límites de integración: $$\int_{0}^{2} (2x^3 - 8x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{2} - 4x^2 \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^4}{2} - 4(2)^2 \right) - (0)$$ $$= (8 - 16) - 0 = -8$$ El área es el valor absoluto: $$Area = |-8| = 8 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Area = 8 \text{ u}^2}$$