Estudio de continuidad y asíntotas de una función a trozos

**a) Estúdiese la continuidad de $f$.** Para estudiar la continuidad, primero analizamos cada rama de la función por separado en sus respectivos intervalos de definición. 1. **Rama 1 ($x < 3$):** La función es $f_1(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - 9}$. Al ser una función racional, es continua en todo su dominio excepto donde el denominador se anula: $$x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3.$$ - El valor $x = -3$ pertenece al intervalo $x < 3$, por lo que hay una discontinuidad en $x = -3$. - El valor $x = 3$ es el punto de salto entre ramas. 2. **Rama 2 ($x \geq 3$):** La función es $f_2(x) = x^2 - 4$. Es una función polinómica, por lo que es continua en todo su dominio de definición ($3, +\infty$). 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones racionales no son continuas en los puntos que anulan el denominador, y las polinómicas son continuas en toda la recta real.

Para que $f(x)$ sea continua en $x = 3$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$. - **Valor de la función:** $f(3) = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. - **Límite por la izquierda ($x \to 3^-$):** $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{x^3}{x^2 - 9} = \frac{27}{0^-} = -\infty.$$ (Como $x$ se acerca a $3$ por valores menores, $x^2$ es ligeramente menor que $9$, por lo que $x^2-9$ es negativo). Como el límite por la izquierda es infinito, hay una **discontinuidad de salto infinito** en $x = 3$. 💡 **Tip:** Si alguno de los límites laterales es infinito, la función presenta una discontinuidad esencial o de salto infinito en ese punto.

Ya vimos que en la primera rama el denominador se anula en $x = -3$. Calculamos los límites laterales para clasificar la discontinuidad: - **Límite por la izquierda ($x \to -3^-$):** $$\lim_{x \to -3^-} \frac{x^3}{(x-3)(x+3)} = \frac{-27}{(-6) \cdot (0^-)} = \frac{-27}{0^+} = -\infty.$$ - **Límite por la derecha ($x \to -3^+$):** $$\lim_{x \to -3^+} \frac{x^3}{(x-3)(x+3)} = \frac{-27}{(-6) \cdot (0^+)} = \frac{-27}{0^-} = +\infty.$$ Al ser los límites infinitos, existe una **discontinuidad de salto infinito** en $x = -3$. ✅ **Resultado (continuidad):** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}}$$

**b) Determínese si $f$ tiene asíntotas horizontales, verticales u oblicuas.** Las asíntotas verticales (AV) se encuentran en los puntos donde el límite de la función es infinito. Basándonos en el estudio de continuidad del apartado anterior: 1. **En $x = -3$:** Hemos comprobado que $\lim_{x \to -3} f(x) = \pm\infty$. Por tanto, **$x = -3$ es una AV**. 2. **En $x = 3$:** Hemos comprobado que $\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$. Por tanto, **$x = 3$ es una AV** (por la izquierda). ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{\text{AV: } x = -3, \, x = 3}$$

Calculamos los límites en el infinito para cada rama: - **Cuando $x \to -\infty$ (Rama 1):** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{x^2 - 9} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} x = -\infty.$$ No hay asíntota horizontal por la izquierda. - **Cuando $x \to +\infty$ (Rama 2):** $$\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 4) = +\infty.$$ No hay asíntota horizontal por la derecha. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{\text{No tiene asíntotas horizontales}}$$

Buscamos asíntotas de la forma $y = mx + n$. - **Por la izquierda ($x \to -\infty$):** $$m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{x(x^2 - 9)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{x^3 - 9x} = 1.$$ $$n = \lim_{x \to -\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to -\infty} \left( \frac{x^3}{x^2 - 9} - x \right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 - (x^3 - 9x)}{x^2 - 9} = \lim_{x \to -\infty} \frac{9x}{x^2 - 9} = 0.$$ Así pues, la recta **$y = x$** es una asíntota oblicua cuando $x \to -\infty$. - **Por la derecha ($x \to +\infty$):** $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 4}{x} = \lim_{x \to +\infty} x = +\infty.$$ No hay asíntota oblicua por la derecha (es una rama parabólica). 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es exactamente uno mayor que el del denominador en una función racional, existe una asíntota oblicua. ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{\text{AO: } y = x \text{ (cuando } x \to -\infty\text{)}}$$