Probabilidad condicionada e independencia de sucesos

**a) ¿Es independiente que siempre desayune y que haga ejercicio regularmente?** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema para poder trabajar con ellos matemáticamente: - $D$: El escolar siempre desayuna. - $E$: El escolar hace ejercicio regularmente. Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades: - Proporción de escolares que hacen ejercicio: $P(E) = \dfrac{2}{5} = 0,4$ - Proporción de escolares que desayunan: $P(D) = \dfrac{2}{3}$ - Probabilidad condicionada (hacer ejercicio dado que desayuna): $P(E|D) = \dfrac{9}{25} = 0,36$ 💡 **Tip:** Recuerda que la frase "entre los que..." indica una probabilidad condicionada. El grupo de referencia pasa a ser el denominador de la condición.

Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si el hecho de que ocurra uno no afecta a la probabilidad del otro. Matemáticamente, esto se cumple si $P(E|D) = P(E)$ o si $P(D \cap E) = P(D) \cdot P(E)$. Comparemos los valores que tenemos: - $P(E|D) = \dfrac{9}{25} = 0,36$ - $P(E) = \dfrac{2}{5} = 0,40$ Como $P(E|D) \neq P(E)$ (ya que $0,36 \neq 0,40$): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos desayunar (D) y hacer ejercicio (E) NO son independientes}}$$

**b) Calcúlese la probabilidad de que no siempre desayune y no haga ejercicio regularmente.** Para resolver este apartado, vamos a completar la información mediante un árbol de probabilidad. Necesitamos hallar la probabilidad de no desayunar y no hacer ejercicio: $P(\bar{D} \cap \bar{E})$. Primero, calculamos las probabilidades complementarias: - $P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$ - $P(\bar{E}|D) = 1 - P(E|D) = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$ Para completar la rama de "no desayunar" ($\bar{D}$), usamos el Teorema de la Probabilidad Total para hallar $P(E|\bar{D})$: $$P(E) = P(D) \cdot P(E|D) + P(\bar{D}) \cdot P(E|\bar{D})$$ $$\frac{2}{5} = \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{25}\right) + \left(\frac{1}{3} \cdot P(E|\bar{D})\right)$$ $$\frac{2}{5} = \frac{18}{75} + \frac{1}{3} P(E|\bar{D}) \implies \frac{30}{75} - \frac{18}{75} = \frac{1}{3} P(E|\bar{D})$$ $$\frac{12}{75} = \frac{1}{3} P(E|\bar{D}) \implies P(E|\bar{D}) = \frac{36}{75} = \frac{12}{25}$$ Por lo tanto, $P(\bar{E}|\bar{D}) = 1 - \frac{12}{25} = \frac{13}{25}$.

Buscamos la probabilidad de que no siempre desayune ($\bar{D}$) y no haga ejercicio ($\bar{E}$). Esta probabilidad corresponde a la rama inferior de nuestro árbol: $$P(\bar{D} \cap \bar{E}) = P(\bar{D}) \cdot P(\bar{E}|\bar{D})$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$P(\bar{D} \cap \bar{E}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{13}{25} = \frac{13}{75} \approx 0,1733$$ 💡 **Tip:** También podrías haberlo resuelto usando la fórmula de la probabilidad de la unión: $P(\bar{D} \cap \bar{E}) = 1 - P(D \cup E)$, donde $P(D \cup E) = P(D) + P(E) - P(D \cap E)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{D} \cap \bar{E}) = \dfrac{13}{75}}$$