Inferencia estadística: Intervalo de confianza y distribución de la media muestral

**a) Se analiza el peso del contenido de 15 paquetes. La media muestral de estos pesos resulta ser 560 gramos. Determínese un intervalo de confianza con un nivel del 95 % para la media poblacional.** Primero, identificamos los datos del enunciado para el apartado a): - Desviación típica poblacional: $\sigma = 25$ g. - Tamaño de la muestra: $n = 15$. - Media muestral: $\bar{x} = 560$ g. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$. Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 95 %: 1. Si $1 - \alpha = 0,95$, entonces $\alpha = 0,05$. 2. Dividimos el riesgo en dos colas: $\alpha/2 = 0,025$. 3. Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor que deja por debajo una probabilidad de $1 - 0,025 = 0,975$. Consultando las tablas: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,975 \implies z_{\alpha/2} = 1,96.$$ 💡 **Tip:** El valor $z_{\alpha/2} = 1,96$ es muy común para el 95 %. Recuerda que siempre se busca la probabilidad acumulada de $1 - \alpha/2$.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,96 \cdot \frac{25}{\sqrt{15}}$$ $$E = 1,96 \cdot \frac{25}{3,873} = 1,96 \cdot 6,455 = 12,65$$ Ahora construimos el intervalo restando y sumando este error a la media muestral: - Límite inferior: $560 - 12,65 = 547,35$ - Límite superior: $560 + 12,65 = 572,65$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (547,35; \, 572,65)}$$

**b) Se sabe que la media poblacional del peso de la harina de un paquete es 560 gramos. Calcúlese la probabilidad de que la media muestral no sea menor que 565 gramos para una muestra de 50 paquetes.** En este apartado, los datos cambian: - Media poblacional: $\mu = 560$ g. - Desviación típica: $\sigma = 25$ g. - Nuevo tamaño de muestra: $n = 50$. La media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal cuya desviación típica se reduce según el tamaño de la muestra: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la nueva desviación típica (error estándar): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{25}{\sqrt{50}} = \frac{25}{7,071} \approx 3,5355$$ Por tanto: $\bar{X} \sim N(560; \, 3,5355)$. 💡 **Tip:** Recuerda que al trabajar con medias de muestras, la dispersión es menor que en la población original porque los valores extremos se compensan al hacer el promedio.

Nos piden la probabilidad de que la media muestral "no sea menor que 565 gramos", lo cual es equivalente a que sea mayor o igual que 565: $P(\bar{X} \ge 565)$. Para calcularlo, tipificamos la variable usando la fórmula $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$: $$P(\bar{X} \ge 565) = P\left( Z \ge \frac{565 - 560}{3,5355} \right)$$ $$P(Z \ge \frac{5}{3,5355}) = P(Z \ge 1,414)$$ Redondeando a dos decimales para usar la tabla de la normal estándar: $$P(Z \ge 1,41) = 1 - P(Z \le 1,41)$$ Buscamos en la tabla el valor de $1,41$: $P(Z \le 1,41) = 0,9207$. Realizamos la resta final: $$1 - 0,9207 = 0,0793$$ ✅ **Resultado (Probabilidad):** $$\boxed{P(\bar{X} \ge 565) = 0,0793}$$