Optimización de dimensiones de un estanque

**a) Determínese la región del plano delimitada por las restricciones anteriores sobre las dimensiones del estanque.** Primero, definimos las variables de decisión basadas en las dimensiones del estanque: - $x$: ancho del estanque (en metros). - $y$: largo del estanque (en metros). A continuación, traducimos las condiciones del enunciado en desigualdades matemáticas: 1. **Ancho mínimo:** El estanque debe tener al menos 2 metros de ancho $\rightarrow x \ge 2$. 2. **Largo mínimo:** El estanque debe tener al menos 5 metros de largo $\rightarrow y \ge 5$. 3. **Relación largo-ancho (mínimo):** El largo es al menos 2 veces su ancho $\rightarrow y \ge 2x$. 4. **Relación largo-ancho (máximo):** El largo no es más de 3 veces su ancho $\rightarrow y \le 3x$. 5. **Presupuesto:** El coste total no puede superar los 9000 euros. Si el metro de ancho cuesta 1000€ y el de largo 500€: $$1000x + 500y \le 9000$$ Simplificamos dividiendo entre 500: $$2x + y \le 18$$ 💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones facilita mucho el dibujo de las rectas y el cálculo de los vértices. $$\boxed{\text{Restricciones: } x \ge 2, \; y \ge 5, \; y \ge 2x, \; y \le 3x, \; 2x+y \le 18}$$

Para determinar la región del plano, dibujamos las rectas asociadas a cada restricción y sombreamos la zona común. Calculamos los vértices del polígono que delimita la región factible resolviendo los sistemas de ecuaciones: - **Vértice A:** Intersección de $x=2$ e $y=5$. Comprobamos si cumple $y \ge 2x$ ($5 \ge 4$, sí). **$A(2, 5)$**. - **Vértice B:** Intersección de $x=2$ e $y=3x$. Obtenemos $y=6$. **$B(2, 6)$**. - **Vértice C:** Intersección de $y=3x$ y $2x+y=18$. Sustituyendo: $2x + 3x = 18 \implies 5x = 18 \implies x = 3,6$. Entonces $y = 3(3,6) = 10,8$. **$C(3,6, 10,8)$**. - **Vértice D:** Intersección de $y=2x$ y $2x+y=18$. Sustituyendo: $2x + 2x = 18 \implies 4x = 18 \implies x = 4,5$. Entonces $y = 2(4,5) = 9$. **$D(4,5, 9)$**. - **Vértice E:** Intersección de $y=5$ y $y=2x$. Obtenemos $x=2,5$. **$E(2,5, 5)$**. La región factible es el pentágono formado por estos puntos.

Aquí se muestra la representación gráfica de las restricciones y la región delimitada por ellas:

**b) Si se desea que el estanque respetando esas características tenga el mayor ancho posible, determínense el largo del estanque y su coste.** El ancho del estanque está representado por la variable $x$. Buscamos maximizar esta coordenada dentro de la región factible. Observando las coordenadas $x$ de los vértices calculados anteriormente: - $A(2, 5)$ - $B(2, 6)$ - $C(3,6, 10,8)$ - $D(4,5, 9)$ - $E(2,5, 5)$ El valor máximo de $x$ se encuentra en el vértice **$D(4,5, 9)$**, donde $x = 4,5$ metros. Para este punto: - El **largo** es $y = 9$ metros. - El **coste** se calcula con la expresión original: $1000x + 500y$ $$\text{Coste} = 1000(4,5) + 500(9) = 4500 + 4500 = 9000 \text{ euros}.$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, los valores óptimos (máximos o mínimos) siempre se encuentran en los vértices de la región factible o en los bordes de la misma. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Largo: } 9 \text{ m, Coste: } 9000 \text{ €}}$$