Matriz inversa y propiedades matriciales

**a) Calcúlese $A^{-1}$.** Para calcular la inversa de una matriz, primero debemos comprobar que su determinante es distinto de cero. Calculamos $|A|$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 8 & 10 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 6 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [3 \cdot 1 \cdot 6 + 8 \cdot 2 \cdot 4 + 10 \cdot 2 \cdot 3] - [4 \cdot 1 \cdot 10 + 3 \cdot 2 \cdot 3 + 6 \cdot 2 \cdot 8]$$ $$|A| = [18 + 64 + 60] - [40 + 18 + 96]$$ $$|A| = 142 - 154 = -12$$ Como $|A| = -12 \neq 0$, la matriz $A$ tiene inversa. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$).

Calculamos la matriz de los adjuntos de $A$, denotada como $Adj(A)$. Para cada elemento $a_{ij}$, el adjunto $A_{ij}$ se obtiene eliminando su fila y columna y aplicando el signo $(-1)^{i+j}$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} = 6-6 = 0$ $A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = -(12-8) = -4$ $A_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = 6-4 = 2$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 8 & 10 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} = -(48-30) = -18$ $A_{22} = +\begin{vmatrix} 3 & 10 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = 18-40 = -22$ $A_{23} = -\begin{vmatrix} 3 & 8 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = -(9-32) = 23$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 8 & 10 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 16-10 = 6$ $A_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & 10 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -(6-20) = 14$ $A_{33} = +\begin{vmatrix} 3 & 8 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3-16 = -13$ La matriz adjunta es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 0 & -4 & 2 \\ -18 & -22 & 23 \\ 6 & 14 & -13 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos de los adjuntos, siguen un patrón de damero: $\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$.

La fórmula para la matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t$. Primero, calculamos la traspuesta de la matriz adjunta: $$(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 0 & -18 & 6 \\ -4 & -22 & 14 \\ 2 & 23 & -13 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos por $\frac{1}{-12}$: $$A^{-1} = \frac{1}{-12} \begin{pmatrix} 0 & -18 & 6 \\ -4 & -22 & 14 \\ 2 & 23 & -13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3/2 & -1/2 \\ 1/3 & 11/6 & -7/6 \\ -1/6 & -23/12 & 13/12 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa de A):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & \frac{11}{6} & -\frac{7}{6} \\ -\frac{1}{6} & -\frac{23}{12} & \frac{13}{12} \end{pmatrix}}$$

**b) Calcúlese $B^{-1}$.** Sabemos por las propiedades de las matrices inversas que la inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas en orden inverso: $$(AB)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$$ Queremos despejar $B^{-1}$. Para ello, multiplicamos por la matriz $A$ por la derecha en ambos lados de la igualdad: $$(AB)^{-1} \cdot A = B^{-1} \cdot A^{-1} \cdot A$$ Como $A^{-1} \cdot A = I$ (la matriz identidad) y $B^{-1} \cdot I = B^{-1}$, obtenemos: $$B^{-1} = (AB)^{-1} \cdot A$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación es fundamental. Si multiplicas por $A$ por la derecha en un lado, debes hacerlo también por la derecha en el otro.

Sustituimos los valores conocidos para hallar $B^{-1}$: $$B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 8 & 10 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 6 \end{pmatrix}$$ Realizamos primero el producto de las dos matrices: - Primera fila: $(0\cdot 3 + 3\cdot 2 -1\cdot 4, \, 0\cdot 8 + 3\cdot 1 -1\cdot 3, \, 0\cdot 10 + 3\cdot 2 -1\cdot 6) = (2, \, 0, \, 0)$ - Segunda fila: $(0\cdot 3 -1\cdot 2 + 1\cdot 4, \, 0\cdot 8 -1\cdot 1 + 1\cdot 3, \, 0\cdot 10 -1\cdot 2 + 1\cdot 6) = (2, \, 2, \, 4)$ - Tercera fila: $(2\cdot 3 -3\cdot 2 -3\cdot 4, \, 2\cdot 8 -3\cdot 1 -3\cdot 3, \, 2\cdot 10 -3\cdot 2 -3\cdot 6) = (-12, \, 4, \, -4)$ Multiplicamos por el escalar $\frac{1}{2}$: $$B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 4 \\ -12 & 4 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ -6 & 2 & -2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa de B):** $$\boxed{B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ -6 & 2 & -2 \end{pmatrix}}$$