Estudio de una función polinómica: cortes, límites y pendiente de la tangente

**a) Determínense los puntos de corte con los ejes de coordenadas así como los límites de la función cuando $x$ tiende a infinito y a menos infinito.** Para hallar el punto de corte con el **eje Y**, evaluamos la función en $x=0$: $$f(0) = 0^3 + 0^2 - 5(0) + 3 = 3$$ Por tanto, el punto de corte con el eje de ordenadas es $(0, 3)$. 💡 **Tip:** El punto de corte con el eje Y siempre tiene la forma $(0, f(0))$. ✅ **Punto de corte eje Y:** $$\boxed{(0, 3)}$$

Para hallar los puntos de corte con el **eje X**, resolvemos la ecuación $f(x) = 0$: $$x^3 + x^2 - 5x + 3 = 0$$ Al ser una ecuación de tercer grado, buscamos raíces enteras utilizando la **Regla de Ruffini** entre los divisores del término independiente (3): $\pm 1, \pm 3$. Probamos con $x=1$: $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 1 & -5 & 3 \\ 1 & & 1 & 2 & -3 \\ \hline & 1 & 2 & -3 & 0 \end{array}$$ El resto es $0$, por lo que $x=1$ es una raíz. El polinomio queda factorizado como $(x-1)(x^2 + 2x - 3) = 0$. Ahora resolvemos la ecuación de segundo grado $x^2 + 2x - 3 = 0$: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: $x = \frac{2}{2} = 1$ y $x = \frac{-6}{2} = -3$. Las raíces son $x = 1$ (doble) y $x = -3$. ✅ **Puntos de corte eje X:** $$\boxed{(1, 0) \text{ y } (-3, 0)}$$

Para calcular los límites de una función polinómica cuando $x \to \pm\infty$, nos fijamos en el término de mayor grado, que es el que domina el crecimiento. Límite cuando $x$ tiende a $+\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} (x^3 + x^2 - 5x + 3) = \lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$$ Límite cuando $x$ tiende a $-\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} (x^3 + x^2 - 5x + 3) = \lim_{x \to -\infty} x^3 = (-\infty)^3 = -\infty$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un número negativo elevado a una potencia impar sigue siendo negativo. ✅ **Límites:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty}$$

**b) Determínense los valores de $x$ en los que la pendiente de la recta tangente a la función es igual a 3.** Sabemos que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto $x$ coincide con el valor de la derivada $f'(x)$ en dicho punto. Primero, calculamos la derivada de $f(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3$: $$f'(x) = 3x^2 + 2x - 5$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente en $x=a$ es siempre $m = f'(a)$.

Igualamos la derivada a la pendiente deseada, $m = 3$: $$3x^2 + 2x - 5 = 3$$ Pasamos el $3$ al primer miembro para obtener una ecuación de segundo grado igualada a cero: $$3x^2 + 2x - 8 = 0$$ Aplicamos la fórmula general: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{-2 \pm 10}{6}$$ Obtenemos los dos valores posibles de $x$: 1. $x_1 = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ 2. $x_2 = \frac{-2 - 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2$ ✅ **Valores de x:** $$\boxed{x = \frac{4}{3} \text{ y } x = -2}$$