Probabilidad y Estadística 2019 Madrid
Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes
Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)
Sean $A$ y $B$ dos sucesos con $P(A) = 0'3, P(B | A) = 0'4, P(B | \bar{A}) = 0'6$. Calcúlese:
a) $P(A | B)$
b) $P(\bar{A} | \bar{B})$
Nota: $\bar{S}$ denota al suceso complementario del suceso $S$
Paso 1
Organización de datos y diagrama de árbol
Para resolver problemas de probabilidad condicionada donde un suceso depende de otro anterior, lo más didáctico es organizar la información en un **diagrama de árbol**.
Datos conocidos:
- $P(A) = 0'3 \implies P(\bar{A}) = 1 - 0'3 = 0'7$
- $P(B | A) = 0'4 \implies P(\bar{B} | A) = 1 - 0'4 = 0'6$
- $P(B | \bar{A}) = 0'6 \implies P(\bar{B} | \bar{A}) = 1 - 0'6 = 0'4$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser 1.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total de B
Para calcular probabilidades a posteriori como la del apartado (a), primero necesitamos conocer la probabilidad total del suceso condicionante, en este caso $P(B)$.
**a) $P(A | B)$**
Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$$
$$P(B) = P(A) \cdot P(B | A) + P(\bar{A}) \cdot P(B | \bar{A})$$
Sustituimos los valores obtenidos en el árbol:
$$P(B) = 0'12 + 0'42 = 0'54$$
💡 **Tip:** $P(B)$ es la suma de todas las ramas que terminan en el suceso $B$.
Paso 3
Cálculo de P(A | B)
Ahora aplicamos la definición de **probabilidad condicionada** (o Teorema de Bayes):
$$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
Sustituimos los valores calculados:
$$P(A | B) = \frac{0'12}{0'54}$$
Para dar el resultado de forma exacta, simplificamos la fracción:
$$P(A | B) = \frac{12}{54} = \frac{2}{9} \approx 0'2222$$
✅ **Resultado del apartado a):**
$$\boxed{P(A | B) = \frac{2}{9} \approx 0'2222}$$
Paso 4
Cálculo de P(Ā | B̄)
**b) $P(\bar{A} | \bar{B})$**
Primero, calculamos $P(\bar{B})$. Como conocemos $P(B)$, usamos la propiedad del suceso complementario:
$$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0'54 = 0'46$$
Aplicamos de nuevo la definición de probabilidad condicionada:
$$P(\bar{A} | \bar{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$$
Del árbol de probabilidad, sabemos que $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0'28$:
$$P(\bar{A} | \bar{B}) = \frac{0'28}{0'46}$$
Simplificamos la fracción:
$$P(\bar{A} | \bar{B}) = \frac{28}{46} = \frac{14}{23} \approx 0'6087$$
💡 **Tip:** Recuerda que $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ no es lo mismo que $P(\bar{A} | \bar{B})$. El primero es el producto de las ramas y el segundo es el cociente respecto al total del suceso condicionante.
✅ **Resultado del apartado b):**
$$\boxed{P(\bar{A} | \bar{B}) = \frac{14}{23} \approx 0'6087}$$