Estimación de la proporción de absentismo laboral

**a) Sabiendo que la proporción poblacional de absentismo laboral injustificado es $P = 0'22$, determínese el tamaño mínimo necesario de una muestra de trabajadores para garantizar que, con una confianza del 99 %, el margen de error en la estimación no supera el 4 %.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la estimación de la proporción: - Proporción poblacional: $p = 0'22$ - Proporción complementaria: $q = 1 - p = 1 - 0'22 = 0'78$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0'99$ - Margen de error máximo: $E = 0'04$ (ya que el 4 % se expresa en tanto por uno). 💡 **Tip:** En problemas de proporciones, si no nos dan $p$, solemos usar el caso más desfavorable $p = 0'5$, pero aquí el enunciado especifica $p = 0'22$.

Para un nivel de confianza del 99 %, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0'99$, entonces $\alpha = 0'01$. 2. Repartimos el error en las dos colas de la normal: $\alpha/2 = 0'005$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal $N(0,1)$ tal que $P(Z \lt z_{\alpha/2}) = 1 - 0'005 = 0'995$. Mirando la tabla de la distribución Normal, el valor correspondiente es: $$z_{\alpha/2} = 2'575$$ (También se acepta $2'58$, pero $2'575$ es más preciso al estar entre $2'57$ y $2'58$). 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son: - $90\% \implies z_{\alpha/2} = 1'645$ - $95\% \implies z_{\alpha/2} = 1'96$ - $99\% \implies z_{\alpha/2} = 2'575$

La fórmula del margen de error para la proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}}$$ Queremos despejar $n$ para que el error sea menor o igual a $0'04$: $$0'04 = 2'575 \cdot \sqrt{\frac{0'22 \cdot 0'78}{n}}$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: $$0'04^2 = 2'575^2 \cdot \frac{0'22 \cdot 0'78}{n}$$ $$0'0016 = 6'630625 \cdot \frac{0'1716}{n}$$ Despejamos $n$: $$n = \frac{6'630625 \cdot 0'1716}{0'0016} = \frac{1'13781525}{0'0016} \approx 711'13$$ Como el número de trabajadores debe ser un número entero y el error debe ser **no superior** al 4 %, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado (tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 712 \text{ trabajadores}}$$

**b) Tomada al azar una muestra de 1000 trabajadores, se encontró que 250 había faltado injustificadamente a su puesto de trabajo al menos una vez al año. Determínese un intervalo de confianza al 95 % para la proporción de individuos que se ausentan en el trabajo al menos una vez al año sin ninguna justificación.** Datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 1000$ - Individuos con la característica: $x = 250$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{250}{1000} = 0'25$ - Proporción complementaria: $\hat{q} = 1 - 0'25 = 0'75$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0'95$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el 95 %: $$P(Z \lt z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0'05}{2} = 0'975 \implies z_{\alpha/2} = 1'96$$

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción poblacional es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \, , \, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error (la parte que se suma y resta): $$E = 1'96 \cdot \sqrt{\frac{0'25 \cdot 0'75}{1000}} = 1'96 \cdot \sqrt{\frac{0'1875}{1000}} = 1'96 \cdot \sqrt{0'0001875}$$ $$E \approx 1'96 \cdot 0'013693 \approx 0'0268$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0'25 - 0'0268 = 0'2232$ - Límite superior: $0'25 + 0'0268 = 0'2768$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza siempre tiene la forma $(\text{estimador} \pm \text{error})$. ✅ **Resultado (intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (0'2232, 0'2768)}$$ *(También expresable como un 22,32 % y 27,68 %)*