Operaciones con matrices, determinantes e inversas

**a) Obténgase el valor de la constante $k$ para que el determinante de la matriz $A - 2B$ sea nulo.** Primero, calculamos la matriz $2B$ multiplicando cada elemento de $B$ por $2$: $$2B = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 8 & 0 & 6 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos la resta $A - 2B$ componente a componente: $$A - 2B = \begin{pmatrix} k & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 8 & 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k-2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ -8 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para sumar o restar matrices, estas deben tener la misma dimensión y se opera elemento a elemento.

Calculamos el determinante de la matriz resultante utilizando la regla de Sarrus: $$|A - 2B| = \begin{vmatrix} k-2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ -8 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A - 2B| = [(k-2) \cdot 2 \cdot 1] + [1 \cdot 3 \cdot (-8)] + [0 \cdot 1 \cdot 0] - [(-8) \cdot 2 \cdot 0 + 0 \cdot 3 \cdot (k-2) + 1 \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|A - 2B| = (2k - 4) - 24 + 0 - (0 + 0 + 1) = 2k - 28 - 1 = 2k - 29$$ Para que el determinante sea nulo, igualamos a cero: $$2k - 29 = 0 \implies 2k = 29 \implies k = \frac{29}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = \frac{29}{2} = 14,5}$$

**b) Determínese si las matrices $C$ y $(C^t \cdot C)$, donde $C^t$ denota la matriz traspuesta de $C$, son invertibles. En caso afirmativo, calcúlense las inversas.** Analizamos la matriz $C$: $$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ La matriz $C$ es de dimensión $3 \times 2$ (3 filas y 2 columnas). 💡 **Tip:** Una condición necesaria para que una matriz tenga inversa es que sea una **matriz cuadrada** (mismo número de filas que de columnas). Como $C$ no es cuadrada, podemos afirmar directamente que **$C$ no es invertible**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{C no es invertible por no ser una matriz cuadrada}}$$

Calculamos primero la traspuesta de $C$ intercambiando filas por columnas: $$C^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos el producto $M = C^t \cdot C$: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot1) & (1\cdot1 + 0\cdot(-1) + 1\cdot0) \\ (1\cdot1 + (-1)\cdot0 + 0\cdot1) & (1\cdot1 + (-1)\cdot(-1) + 0\cdot0) \end{pmatrix}$$ $$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Esta matriz es cuadrada ($2 \times 2$), por lo que procedemos a calcular su determinante para ver si es invertible: $$|M| = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2) - (1 \cdot 1) = 4 - 1 = 3$$ Como $|M| \neq 0$, la matriz **$(C^t \cdot C)$ es invertible**.

Para hallar la inversa $M^{-1}$, usamos la fórmula: $$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \cdot (\text{Adj}(M))^t$$ 1. Hallamos la matriz de adjuntos de $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$: $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 2. Hallamos la traspuesta de la adjunta: $$(\text{Adj}(M))^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 3. Calculamos la inversa dividiendo por el determinante ($|M|=3$): $$(C^t \cdot C)^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 & -1/3 \\ -1/3 & 2/3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(C^t \cdot C)^{-1} = \begin{pmatrix} 2/3 & -1/3 \\ -1/3 & 2/3 \end{pmatrix}}$$