Optimización de producción de helado y horchata

**a) Represéntese la región del plano determinada por las restricciones anteriores.** Primero, definimos las variables del problema: - $x$: litros de helado artesano a preparar. - $y$: litros de horchata a preparar. A continuación, traducimos el enunciado a lenguaje algebraico para obtener las restricciones: 1. **Tiempo de trabajo:** La elaboración de 1 litro de helado lleva 1 h y la de horchata 2 h, con un máximo de 20 h: $$x + 2y \le 20$$ 2. **Disponibilidad de leche:** Solo puede preparar hasta 15 litros de helado: $$x \le 15$$ 3. **Cantidad mínima total:** Al menos 10 litros entre helado y horchata: $$x + y \ge 10$$ 4. **No negatividad:** Las cantidades producidas no pueden ser negativas: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, las restricciones de no negatividad ($x \ge 0, y \ge 0$) son casi siempre implícitas si hablamos de objetos físicos o cantidades.

Para representar la región, dibujamos primero las rectas asociadas a cada desigualdad: - $r_1: x + 2y = 20$. Si $x=0 \implies y=10$; si $y=0 \implies x=20$. Pasa por $(0, 10)$ y $(20, 0)$. - $r_2: x = 15$. Es una recta vertical que pasa por $x=15$. - $r_3: x + y = 10$. Si $x=0 \implies y=10$; si $y=0 \implies x=10$. Pasa por $(0, 10)$ y $(10, 0)$. Determinamos la región válida para cada inecuación probando el punto $(0,0)$: - $0 + 2(0) \le 20$ (Cierto, la región incluye el origen para $r_1$). - $0 \le 15$ (Cierto, a la izquierda de $r_2$). - $0 + 0 \ge 10$ (Falso, la región está al otro lado del origen para $r_3$).

La intersección de todos los semiplanos anteriores define la región factible, que en este caso es un cuadrilátero. Aquí tienes la representación interactiva de la región:

Los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan: - **Vértice A:** Intersección de $x + 2y = 20$ y $x + y = 10$. Restando ambas ecuaciones: $(x+2y) - (x+y) = 20 - 10 \implies y = 10$. Sustituyendo en $x+y=10$, tenemos $x=0$. $$A(0, 10)$$ - **Vértice B:** Intersección de $x + 2y = 20$ y $x = 15$. Sustituimos $x=15$: $15 + 2y = 20 \implies 2y = 5 \implies y = 2.5$. $$B(15, 2.5)$$ - **Vértice C:** Intersección de $x = 15$ y el eje OX ($y=0$). $$C(15, 0)$$ - **Vértice D:** Intersección de $x + y = 10$ y el eje OX ($y=0$). $$D(10, 0)$$ 💡 **Tip:** Aunque el enunciado no lo pida explícitamente en el apartado a, calcular los vértices es fundamental para resolver el apartado b.

**b) Si el beneficio por litro es de 25 euros para el helado y 12 euros para la horchata, obténgase la cantidad de cada producto que se deberá preparar para maximizar el beneficio y calcúlese el beneficio máximo que podría obtenerse.** La función objetivo a maximizar es el beneficio $B(x, y)$: $$B(x, y) = 25x + 12y$$ Evaluamos la función en cada uno de los vértices hallados anteriormente: - Para $A(0, 10)$: $B(0, 10) = 25(0) + 12(10) = 120 \text{ €}$ - Para $B(15, 2.5)$: $B(15, 2.5) = 25(15) + 12(2.5) = 375 + 30 = 405 \text{ €}$ - Para $C(15, 0)$: $B(15, 0) = 25(15) + 12(0) = 375 \text{ €}$ - Para $D(10, 0)$: $B(10, 0) = 25(10) + 12(0) = 250 \text{ €}$ Comparando los resultados, el beneficio máximo es de **405 euros**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se deben preparar 15 litros de helado y 2.5 litros de horchata para un beneficio máximo de 405 euros.}}$$