Cálculo de una primitiva, extremos relativos y curvatura

**a) Obténgase la expresión de la función $f(x)$ sabiendo que pasa por el punto (0, 3).** Para obtener $f(x)$ a partir de su derivada $f'(x)$, debemos calcular la integral indefinida (primitiva): $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (2x^2 - 4x - 6) \, dx$$ Aplicamos las reglas básicas de integración para potencias de $x$: $$f(x) = 2 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} - 6x + C$$ $$f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 2x^2 - 6x + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una potencia es $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Sabemos que la función pasa por el punto $(0, 3)$, lo que significa que $f(0) = 3$. Sustituimos este valor en nuestra expresión para hallar $C$: $$f(0) = \frac{2}{3}(0)^3 - 2(0)^2 - 6(0) + C = 3$$ $$0 - 0 - 0 + C = 3 \implies C = 3$$ Por lo tanto, la expresión final de la función es: $$\boxed{f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 2x^2 - 6x + 3}$$

**b) Determínense los extremos relativos de la función $f(x)$ indicando si corresponden a máximos o mínimos relativos y estúdiese la concavidad ($\cup$) y convexidad ($\cap$) de esta función.** Los extremos relativos ocurren en los puntos donde la primera derivada es igual a cero: $$f'(x) = 2x^2 - 4x - 6 = 0$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo por 2: $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: - $x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$ - $x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$ 💡 **Tip:** Los puntos donde $f'(x)=0$ son candidatos a extremos. Para confirmar si son máximos o mínimos, estudiaremos el signo de la derivada a su alrededor.

Analizamos el signo de $f'(x) = 2(x-3)(x+1)$ en los intervalos definidos por las raíces: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,3) & 3 & (3,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ \text{Función} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Calculamos las coordenadas $y$ de los extremos: - Para $x = -1$: $f(-1) = \frac{2}{3}(-1)^3 - 2(-1)^2 - 6(-1) + 3 = -\frac{2}{3} - 2 + 6 + 3 = \frac{19}{3}$ - Para $x = 3$: $f(3) = \frac{2}{3}(3)^3 - 2(3)^2 - 6(3) + 3 = 18 - 18 - 18 + 3 = -15$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-1, 19/3) \text{ y Mínimo relativo en } (3, -15)}$$

Para estudiar la curvatura, calculamos la segunda derivada: $$f''(x) = (2x^2 - 4x - 6)' = 4x - 4$$ Buscamos el punto de inflexión igualando a cero: $$4x - 4 = 0 \implies x = 1$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos alrededor de $x=1$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f''(x) & - & 0 & +\\ \text{Curvatura} & \cap \text{ (Convexa)} & \text{P.I.} & \cup \text{ (Cóncava)} \end{array}$$ ✅ **Resultado (Curvatura):** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Convexa (}\cap\text{) en } (-\infty, 1) \\ & \text{Cóncava (}\cup\text{) en } (1, +\infty) \end{aligned}}$$ 💡 **Tip:** Según el enunciado, se asocia concavidad con $\cup$ (donde $f''(x)>0$) y convexidad con $\cap$ (donde $f''(x)<0$).