Probabilidad condicional, independencia y unión de sucesos

Para resolver problemas de probabilidad de este tipo, lo más didáctico es organizar la información en una tabla de contingencia. Datos del enunciado: - $P(A) = 0.6$ - $P(B) = 0.8$ - $P(A \cap \bar{B}) = 0.1$ Sabemos que la suma de las probabilidades de un suceso y su contrario es $1$: - $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.8 = 0.2$ - $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.6 = 0.4$ Podemos calcular $P(A \cap B)$ sabiendo que $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$: $$0.6 = P(A \cap B) + 0.1 \implies P(A \cap B) = 0.5$$ Completamos el resto de la tabla sumando filas y columnas: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline A & 0.5 & 0.1 & 0.6 \\ \bar{A} & 0.3 & 0.1 & 0.4 \\ \hline \text{Total} & 0.8 & 0.2 & 1.0 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, las celdas interiores son las intersecciones ($\cap$) y los totales exteriores son las probabilidades simples de cada suceso.

**a) Calcúlese la probabilidad de que ocurra el suceso $A$ si no ha ocurrido el suceso $B$ y determínese si los sucesos $A$ y $B$ son independientes. $\bar{B}$ denota el complementario del suceso $B$.** Nos piden la probabilidad de $A$ condicionada a que no ha ocurrido $B$, es decir, $P(A|\bar{B})$. Utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(A|\bar{B}) = \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$$ Sustituimos los valores que ya conocemos: $$P(A|\bar{B}) = \frac{0.1}{0.2} = 0.5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$. Indica la probabilidad de que ocurra $X$ sabiendo con certeza que ha ocurrido $Y$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|\bar{B}) = 0.5}$$

Para determinar si los sucesos $A$ y $B$ son independientes, debemos comprobar si se cumple la condición: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = 0.6 \cdot 0.8 = 0.48$$ Comparamos con el valor de la intersección que obtuvimos en la tabla: $$P(A \cap B) = 0.5$$ Como $0.5 \neq 0.48$, es decir, $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$, concluimos que los sucesos **no son independientes**. 💡 **Tip:** También podrías comprobarlo viendo si $P(A|B) = P(A)$ o $P(A|\bar{B}) = P(A)$. En este caso $P(A|\bar{B}) = 0.5$ y $P(A) = 0.6$, como son distintos, no son independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos } A \text{ y } B \text{ son dependientes (no independientes)}}$$

**b) Obténgase la probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos, $A$ o $B$.** Que ocurra "alguno de los dos" se traduce matemáticamente como la unión de sucesos, $P(A \cup B)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A \cup B) = 0.6 + 0.8 - 0.5$$ $$P(A \cup B) = 1.4 - 0.5 = 0.9$$ 💡 **Tip:** No olvides restar la intersección, ya que al sumar $P(A)$ y $P(B)$ estás contando los elementos comunes dos veces. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = 0.9}$$