Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Seleccionada una muestra aleatoria simple de 64 centros en los que se imparte este tipo de clases, el precio medio mensual observado fue de 34 euros. Obténgase un intervalo de confianza al 99'2 % para estimar el precio medio mensual, $\mu$, de las clases de Pilates.** Primero definimos la variable aleatoria $X$ como el precio mensual de las clases de Pilates. El enunciado nos indica que sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma)$$ Datos conocidos: - Varianza: $\sigma^2 = 49 \implies$ Desviación típica: $\sigma = \sqrt{49} = 7$ euros. - Tamaño de la muestra: $n = 64$. - Media muestral: $\bar{x} = 34$ euros. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,992$. 💡 **Tip:** Recuerda que la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. Es un error común usar la varianza directamente en las fórmulas de inferencia.

Para un nivel de confianza del $99,2\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Hallamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0,992 \implies \alpha = 1 - 0,992 = 0,008$. 2. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0,004$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0,1)$ tal que: $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,004 = 0,9960$. Buscando en la tabla de la distribución normal $N(0,1)$, el valor que corresponde a una probabilidad de $0,9960$ es: $$z_{\alpha/2} = 2,65$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, toma el más cercano o realiza una interpolación lineal. En este caso, $0,9960$ aparece exactamente para $2,65$.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2,65 \cdot \frac{7}{\sqrt{64}} = 2,65 \cdot \frac{7}{8} = 2,65 \cdot 0,875 = 2,31875$$ Ahora aplicamos los límites: - Límite inferior: $34 - 2,31875 = 31,68125$. - Límite superior: $34 + 2,31875 = 36,31875$. ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (31,68125; \, 36,31875)}$$

**b) Determínese el tamaño muestral mínimo que debería tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea como mucho de 3 euros, con una confianza del 95 %.** En este apartado cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95 \implies \alpha = 0,05 \implies \alpha/2 = 0,025$. - Valor crítico: Para $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,975$, consultamos la tabla y obtenemos **$z_{\alpha/2} = 1,96$**. - Error máximo: $E \le 3$. - Desviación típica: $\sigma = 7$ (se mantiene igual). Queremos encontrar el valor de $n$ que cumple: $$z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le E$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2} = 1,96$ es el más habitual en los exámenes para una confianza del $95\%$, conviene memorizarlo.

Sustituimos los valores en la fórmula del error y despejamos $n$: $$1,96 \cdot \frac{7}{\sqrt{n}} \le 3$$ $$\frac{1,96 \cdot 7}{3} \le \sqrt{n}$$ $$\frac{13,72}{3} \le \sqrt{n}$$ $$4,5733... \le \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros para despejar $n$: $$n \ge (4,5733...)^2$$ $$n \ge 20,915$$ Como el tamaño muestral debe ser un número entero y estamos buscando el mínimo para no superar ese error, debemos redondear siempre al entero superior, incluso si el decimal es pequeño. ✅ **Resultado (Tamaño muestral mínimo):** $$\boxed{n = 21}$$