Sistema de ecuaciones lineales homogéneo con parámetro

**a) Determínense los valores del parámetro real $m$ para que el sistema tenga soluciones diferentes a la solución trivial $x = y = z = 0$.** El sistema propuesto es un **sistema homogéneo**, ya que todos los términos independientes son iguales a cero. Este tipo de sistemas siempre son compatibles (tienen al menos la solución trivial $x=y=z=0$). Para que el sistema tenga soluciones distintas a la trivial (es decir, sea un **Sistema Compatible Indeterminado**), el determinante de la matriz de coeficientes $A$ debe ser igual a cero. Si $|A| \neq 0$, por el Teorema de Rouché-Fröbenius, el rango sería 3 y solo tendría la solución única (trivial). Escribimos la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & m & -1 \\ 1 & -1 & -m \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En un sistema homogéneo $AX=0$, si $|A|=0$, existen infinitas soluciones. Si $|A|\neq 0$, solo existe la solución trivial.

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & m & -1 \\ 1 & -1 & -m \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(-1) \cdot m \cdot (-m) + 1 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1)] - [1 \cdot m \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) + (-m) \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|A| = [m^2 - 1 - 1] - [m - 1 - m]$$ $$|A| = m^2 - 2 - (-1) = m^2 - 2 + 1 = m^2 - 1$$ Para que existan soluciones no triviales, igualamos a cero: $$m^2 - 1 = 0 \implies m^2 = 1 \implies m = \pm 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 1, \quad m = -1}$$

**b) Resuélvase el sistema para $m = 1$.** Sustituimos $m = 1$ en el sistema original: $$\begin{cases} -x + y + z = 0 \\ x + y - z = 0 \\ x - y - z = 0 \end{cases}$$ Como vimos en el apartado anterior, si $m=1$, el determinante $|A|=0$, por lo que el rango de la matriz es menor que 3. Vamos a determinar el rango buscando un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0$$ Esto indica que el **rango(A) = 2**. Al ser un sistema homogéneo, el rango de la matriz ampliada también es 2. Como $rg(A) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado**. Observamos que la tercera ecuación ($x - y - z = 0$) es la primera multiplicada por $-1$, por lo que es redundante y podemos prescindir de ella. 💡 **Tip:** Cuando el determinante general es 0, busca un sub-determinante $2\times 2$ no nulo para confirmar que el rango es 2.

Utilizamos las dos primeras ecuaciones y tomamos $z$ como parámetro ($z = \lambda$): $$\begin{cases} -x + y = -\lambda \\ x + y = \lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar la $x$: $$(-x + x) + (y + y) = -\lambda + \lambda$$ $$2y = 0 \implies \mathbf{y = 0}$$ Sustituimos $y = 0$ en la segunda ecuación: $$x + 0 = \lambda \implies \mathbf{x = \lambda}$$ Las soluciones del sistema para $m=1$ son: $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = 0 \\ z = \lambda \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, 0, \lambda), \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$