Estudio de una función racional y recta tangente

**a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y obténganse sus asíntotas verticales y horizontales, si las tuviese.** Primero, analizamos el dominio de la función para localizar posibles asíntotas verticales. La función $f(x) = \frac{8}{x^2 + 4}$ es una función racional. El denominador es $x^2 + 4$. Buscamos los valores que anulan el denominador: $$x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$$ Esta ecuación no tiene soluciones reales, por lo que el denominador nunca es cero. Esto implica que: 1. El dominio es todos los números reales: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$. 2. **No existen asíntotas verticales**. 💡 **Tip:** Las asíntotas verticales aparecen en los puntos donde el denominador se anula y el numerador no, lo que provoca que el límite de la función sea infinito.

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{8}{x^2 + 4} = \frac{8}{\infty} = 0$$ Como el límite es un valor finito ($0$), existe una asíntota horizontal en la recta **$y = 0$** (el eje $X$). Dado que hay una asíntota horizontal, no existen asíntotas oblicuas. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: No tiene} \quad \text{AH: } y = 0}$$

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento (monotonía), necesitamos calcular la derivada $f'(x)$. Utilizamos la regla del cociente o la regla de la cadena tratando la función como $8(x^2+4)^{-1}$: $$f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 4) - 8 \cdot (2x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{-16x}{(x^2 + 4)^2}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$\frac{-16x}{(x^2 + 4)^2} = 0 \implies -16x = 0 \implies x = 0$$ El único punto crítico se encuentra en $x = 0$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico $x = 0$. Observamos que el denominador $(x^2 + 4)^2$ siempre es positivo, por lo que el signo de $f'(x)$ depende solo de $-16x$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\\hline f'(x) & + & 0 & - \\\hline f(x) & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ - Si $x \lt 0$, $f'(x) \gt 0$, la función es **creciente**. - Si $x \gt 0$, $f'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (-\infty, 0) \text{ y Decreciente en } (0, +\infty)}$$

**b) Obténgase la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa $x = 2$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente $y - f(a) = f'(a)(x - a)$, necesitamos: 1. El punto de tangencia: $(2, f(2))$ 2. La pendiente: $m = f'(2)$ **Paso 1: Calcular la ordenada $f(2)$:** $$f(2) = \frac{8}{2^2 + 4} = \frac{8}{4 + 4} = \frac{8}{8} = 1$$ El punto es **$(2, 1)$**. **Paso 2: Calcular la pendiente $f'(2)$:** Utilizamos la derivada hallada en el apartado anterior $f'(x) = \frac{-16x}{(x^2 + 4)^2}$: $$f'(2) = \frac{-16(2)}{(2^2 + 4)^2} = \frac{-32}{8^2} = \frac{-32}{64} = -\frac{1}{2}$$ La pendiente es **$m = -1/2$**. 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada de la función en la abscisa de dicho punto.

Sustituimos el punto $(2, 1)$ y la pendiente $m = -1/2$ en la ecuación punto-pendiente: $$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 2)$$ Despejamos $y$ para obtener la forma explícita: $$y - 1 = -\frac{1}{2}x + 1$$ $$y = -\frac{1}{2}x + 1 + 1$$ $$y = -\frac{1}{2}x + 2$$ ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = -\frac{1}{2}x + 2}$$