Continuidad con parámetros y cálculo de áreas

**a) Analícese la continuidad de la función en todo su dominio según los valores de $k$.** Para analizar la continuidad, primero observamos que el dominio de la función es $\mathbb{R}$, ya que está definida para todos los valores de $x$ ($x \le 0$, $0 \lt x \le 3$ y $x \gt 3$). Analizamos la continuidad en los intervalos abiertos donde la función está definida por una sola expresión: 1. En $(-\infty, 0)$, $f(x) = e^x + k$ es una función exponencial desplazada, continua en todo su dominio. 2. En $(0, 3)$, $f(x) = 1 - x^2$ es una función polinómica, continua en todo su dominio. 3. En $(3, +\infty)$, $f(x) = \frac{1}{x-3}$ es una función racional cuyo único punto de discontinuidad es $x=3$, pero como este intervalo es para $x \gt 3$, la función es continua en él. Los puntos críticos donde la función podría ser discontinua son los puntos de salto entre ramas: **$x = 0$** y **$x = 3$**.

Para que $f(x)$ sea continua en $x = 0$, deben coincidir el valor de la función y sus límites laterales: 1. Valor de la función: $f(0) = e^0 + k = 1 + k$. 2. Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (e^x + k) = 1 + k$. 3. Límite por la derecha: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (1 - x^2) = 1$. Para que sea continua, igualamos los límites: $$1 + k = 1 \implies k = 0.$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si $f(a) = \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$.

Analizamos el comportamiento en $x = 3$: 1. Valor de la función: $f(3) = 1 - 3^2 = 1 - 9 = -8$. 2. Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (1 - x^2) = -8$. 3. Límite por la derecha: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x - 3} = \frac{1}{0^+} = +\infty$. Como el límite por la derecha es infinito, existe una **discontinuidad de salto infinito** en $x = 3$ para cualquier valor de $k$. ✅ **Resultado (Análisis de continuidad):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } k = 0, & f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \setminus \{3\} \\ \text{Si } k \neq 0, & f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \setminus \{0, 3\} \end{cases}}$$

**b) Considerando $k = 0$, obténgase el área del recinto acotado delimitado por la función $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x = -1$ y $x = 1$.** Con $k=0$, la función es: $$f(x) = \begin{cases} e^x & \text{si } x \le 0, \\ 1 - x^2 & \text{si } 0 < x \le 3, \\ \frac{1}{x - 3} & \text{si } x > 3. \end{cases}$$ El área solicitada está comprendida entre $x = -1$ y $x = 1$. Como la definición de la función cambia en $x = 0$, debemos dividir la integral en dos partes: $$\text{Área} = \int_{-1}^{0} |f(x)| \, dx + \int_{0}^{1} |f(x)| \, dx$$ Analizamos el signo de la función en esos intervalos: - En $[-1, 0]$, $f(x) = e^x$, que siempre es positiva ($e^x \gt 0$). - En $[0, 1]$, $f(x) = 1 - x^2$, que es positiva ya que $x^2 \le 1$. Por tanto: $$\text{Área} = \int_{-1}^{0} e^x \, dx + \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx$$

Calculamos cada parte por separado aplicando la Regla de Barrow: 1. Primera parte ($x \in [-1, 0]$): $$\int_{-1}^{0} e^x \, dx = [e^x]_{-1}^{0} = e^0 - e^{-1} = 1 - \frac{1}{e}.$$ 2. Segunda parte ($x \in [0, 1]$): $$\int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(0 - \frac{0^3}{3}\right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ y $\int e^x \, dx = e^x$.

Sumamos ambas áreas para obtener el recinto total: $$\text{Área Total} = \left(1 - \frac{1}{e}\right) + \frac{2}{3}$$ $$\text{Área Total} = 1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{e} = \frac{5}{3} - \frac{1}{e} \approx 1.667 - 0.368 = 1.299 \, \text{u}^2.$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = \frac{5}{3} - \frac{1}{e} \, \text{u}^2}$$