Probabilidad y Estadística 2019 Madrid
Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes
Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)
De un estudio realizado en una región, se deduce que la probabilidad de que un niño de primaria juegue con consolas de videojuegos más tiempo del recomendado por los especialistas es 0'60. Entre estos niños, la probabilidad de fracaso escolar se eleva a 0'30 mientras que, si no juegan más tiempo del recomendado, la probabilidad de fracaso escolar es 0'15. Seleccionado un niño al azar de esta región,
a) Obténgase la probabilidad de que tenga fracaso escolar.
b) Si tiene fracaso escolar, determínese cuál es la probabilidad de que no juegue con estas consolas más tiempo del recomendado.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) Obténgase la probabilidad de que tenga fracaso escolar.**
Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $J$: El niño juega con consolas más tiempo del recomendado.
- $\bar{J}$: El niño no juega más tiempo del recomendado (suceso contrario a $J$).
- $F$: El niño tiene fracaso escolar.
- $\bar{F}$: El niño no tiene fracaso escolar.
A partir de los datos del enunciado, conocemos:
- $P(J) = 0,60$
- $P(\bar{J}) = 1 - 0,60 = 0,40$
- $P(F|J) = 0,30$
- $P(F|\bar{J}) = 0,15$
Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de fracaso escolar
Para calcular la probabilidad total de que un niño tenga fracaso escolar ($P(F)$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**.
El suceso $F$ puede ocurrir por dos caminos: que juegue más de lo recomendado y tenga fracaso, o que no juegue más de lo recomendado y tenga fracaso.
$$P(F) = P(J) \cdot P(F|J) + P(\bar{J}) \cdot P(F|\bar{J})$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(F) = 0,60 \cdot 0,30 + 0,40 \cdot 0,15$$
$$P(F) = 0,18 + 0,06 = 0,24$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que llegan al suceso final es la probabilidad total de dicho suceso.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(F) = 0,24}$$
La probabilidad de que un niño seleccionado al azar tenga fracaso escolar es del **24%**.
Paso 3
Cálculo de la probabilidad a posteriori (Teorema de Bayes)
**b) Si tiene fracaso escolar, determínese cuál es la probabilidad de que no juegue con estas consolas más tiempo del recomendado.**
En este apartado nos piden una probabilidad condicionada: la probabilidad de que no juegue más de lo recomendado ($\bar{J}$) sabiendo que tiene fracaso escolar ($F$). Para ello, usamos el **Teorema de Bayes**.
La fórmula es:
$$P(\bar{J}|F) = \frac{P(\bar{J} \cap F)}{P(F)}$$
Ya conocemos el denominador del apartado anterior ($P(F) = 0,24$). Calculamos el numerador:
$$P(\bar{J} \cap F) = P(\bar{J}) \cdot P(F|\bar{J}) = 0,40 \cdot 0,15 = 0,06$$
Ahora calculamos el cociente:
$$P(\bar{J}|F) = \frac{0,06}{0,24}$$
$$P(\bar{J}|F) = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0,25$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza para calcular probabilidades "hacia atrás" en el árbol, es decir, dada una consecuencia, hallar la probabilidad de que proceda de una causa específica.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{J}|F) = 0,25}$$
Si el niño tiene fracaso escolar, la probabilidad de que no juegue con consolas más tiempo del recomendado es de **0,25**.