Inferencia estadística: Tamaño muestral y distribución de la media

**a) En un estudio se tomó una muestra aleatoria simple de dichas mochilas escolares y se estimó el peso medio utilizando un intervalo de confianza del 95 %. La amplitud de este intervalo resultó ser 0,49 kilogramos. Obténgase el número de mochilas seleccionadas en la muestra.** Primero, identificamos los datos proporcionados para el intervalo de confianza: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 1,5$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$. - Amplitud del intervalo ($A$): $0,49$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 95 %: 1. Si $1 - \alpha = 0,95$, entonces $\alpha = 0,05$ y $\alpha/2 = 0,025$. 2. Buscamos en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$ el valor que deja por debajo una probabilidad de $1 - 0,025 = 0,975$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,975 \implies z_{\alpha/2} = 1,96$$ 💡 **Tip:** El valor $z_{\alpha/2} = 1,96$ es muy común para el 95 % de confianza; es recomendable memorizarlo para ganar tiempo.

La amplitud ($A$) de un intervalo de confianza para la media es el doble del error máximo admisible ($E$). Por tanto: $$A = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos en la fórmula para despejar $n$: $$0,49 = 2 \cdot 1,96 \cdot \frac{1,5}{\sqrt{n}}$$ $$0,49 = \frac{5,88}{\sqrt{n}}$$ Despejamos $\sqrt{n}$: $$\sqrt{n} = \frac{5,88}{0,49} = 12$$ Elevamos al cuadrado para obtener el número de mochilas: $$n = 12^2 = 144$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 144 \text{ mochilas}}$$

**b) Supóngase que $\mu = 6$ kilogramos. Seleccionada una muestra aleatoria simple de 225 mochilas escolares, calcúlese la probabilidad de que el peso medio muestral supere los 5,75 kilogramos.** Para este apartado, los datos cambian: - Media poblacional: $\mu = 6$. - Desviación típica: $\sigma = 1,5$. - Tamaño de la muestra: $n = 225$. La variable aleatoria peso de las mochilas sigue una distribución $X \sim N(6, \, 1,5)$. La distribución de la **media muestral** $\bar{X}$ se define como: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la desviación típica de la media muestral (error estándar): $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{1,5}{\sqrt{225}} = \frac{1,5}{15} = 0,1$$ Por lo tanto, la distribución para la media es: $$\bar{X} \sim N(6, \, 0,1)$$ 💡 **Tip:** Siempre que trabajes con medias muestrales, recuerda dividir la desviación típica original por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra $\sqrt{n}$.

Queremos calcular la probabilidad de que el peso medio muestral supere los 5,75 kg, es decir, $P(\bar{X} \gt 5,75)$. Tipificamos la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}}$: $$P(\bar{X} \gt 5,75) = P\left(Z \gt \frac{5,75 - 6}{0,1}\right)$$ $$P(\bar{X} \gt 5,75) = P\left(Z \gt \frac{-0,25}{0,1}\right) = P(Z \gt -2,5)$$ Por la simetría de la campana de Gauss, la probabilidad de que $Z$ sea mayor que un valor negativo es igual a la probabilidad de que $Z$ sea menor que su valor positivo correspondiente: $$P(Z \gt -2,5) = P(Z \le 2,5)$$ Buscamos el valor $2,5$ en las tablas de la distribución Normal: $$P(Z \le 2,5) = 0,9938$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 5,75) = 0,9938}$$