Ecuaciones matriciales e inversas

**a) (1 punto) Compruebe que $Y^{-1} = X$.** Partimos de las dos igualdades dadas: $A \cdot X = B$ y $B \cdot Y = A$. Para demostrar que $Y^{-1} = X$, sustituimos la expresión de $A$ dada en la segunda ecuación ($A = B \cdot Y$) en la primera ecuación: $$A \cdot X = B \implies (B \cdot Y) \cdot X = B$$ Como el enunciado indica que las matrices son invertibles, existe la matriz inversa $B^{-1}$. Multiplicamos por la izquierda en ambos miembros por dicha inversa: $$B^{-1} \cdot (B \cdot Y \cdot X) = B^{-1} \cdot B$$ $$(B^{-1} \cdot B) \cdot Y \cdot X = I$$ $$I \cdot Y \cdot X = I \implies Y \cdot X = I$$ Si el producto de dos matrices cuadradas es la matriz identidad ($I$), por definición, una es la inversa de la otra. Por tanto: $$\boxed{Y^{-1} = X}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices es asociativo: $(AB)C = A(BC)$, pero no es conmutativo por lo general ($AB \neq BA$). Por eso es crucial multiplicar por el mismo lado (izquierda o derecha) en ambos miembros.

**b) (1.5 puntos) Para $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, halle $X$ e $Y$.** Primero despejamos $X$ de la ecuación $A \cdot X = B$. Multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda: $$A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot B \implies X = A^{-1} \cdot B$$ Calculamos $A^{-1}$ siguiendo los pasos habituales: 1. **Determinante de $A$:** $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (1 \cdot 3) - (2 \cdot 1) = 3 - 2 = 1$$ 2. **Matriz de adjuntos $Adj(A)$:** $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. **Inversa:** $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La inversa de una matriz $2 \times 2$ es fácil de recordar: intercambia los elementos de la diagonal principal y cambia de signo los de la secundaria, dividiendo luego por el determinante.

Sustituimos $A^{-1}$ y $B$ en la expresión $X = A^{-1} \cdot B$: $$X = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 & 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 \\ -1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 & -1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado para $X$:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $Y$, podemos usar la relación demostrada en el apartado a): $Y^{-1} = X$. Esto implica que **$Y = X^{-1}$**. Calculamos la inversa de $X$: 1. **Determinante de $X$:** $$|X| = \begin{vmatrix} 6 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = (6 \cdot 0) - (1 \cdot (-2)) = 0 + 2 = 2$$ 2. **Matriz adjunta traspuesta:** Para $X = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$, los adjuntos son: - $C_{11} = 0$ - $C_{12} = -(-2) = 2$ - $C_{21} = -(1) = -1$ - $C_{22} = 6$ $$Adj(X)^t = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$$ 3. **Inversa de $X$:** $$Y = X^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1/2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado para $Y$:** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 0 & -1/2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}}$$