Programación lineal: Formulación de problemas y optimización gráfica

**a) (1 punto) Una fábrica de electrodomésticos dispone de dos cadenas de montaje. En una hora de trabajo, la cadena A produce 10 lavadoras y 5 frigoríficos, mientras que la cadena B produce 7 lavadoras y 6 frigoríficos. El coste de cada hora de trabajo en las cadenas A y B es de 1 200 y 1 500 euros, respectivamente. La cadena A puede funcionar, como máximo, el doble de horas que la cadena B. Si deben producir como mínimo 400 lavadoras y 280 frigoríficos, formule, sin resolver, el problema que permite obtener las horas de funcionamiento de las cadenas A y B para minimizar el coste de producción de esos electrodomésticos.** Primero definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de horas de funcionamiento de la cadena A. - $y$: número de horas de funcionamiento de la cadena B. El objetivo es minimizar el coste total de producción. Según el enunciado, el coste por hora es de $1\,200$ € para A y $1\,500$ € para B. La **función objetivo** será: $$f(x, y) = 1200x + 1500y$$ 💡 **Tip:** En los problemas de optimización, siempre identifica qué magnitudes puedes variar (variables) y qué quieres maximizar o minimizar (función objetivo).

Traducimos las condiciones del enunciado a inecuaciones: 1. **Producción de lavadoras:** Deben producir al menos 400. La cadena A hace 10 por hora y la B hace 7. $$10x + 7y \ge 400$$ 2. **Producción de frigoríficos:** Deben producir al menos 280. La cadena A hace 5 por hora y la B hace 6. $$5x + 6y \ge 280$$ 3. **Relación de horas:** La cadena A puede funcionar, como máximo, el doble de horas que la B. $$x \le 2y$$ 4. **No negatividad:** Las horas no pueden ser negativas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El modelo matemático final queda formulado como: $$\boxed{\begin{aligned} \text{Minimizar } & f(x, y) = 1200x + 1500y \\ \text{Sujeto a: } & 10x + 7y \ge 400 \\ & 5x + 6y \ge 280 \\ & x - 2y \le 0 \\ & x \ge 0, \; y \ge 0 \end{aligned}}$$

**b) (1.5 puntos) Represente el recinto definido por las siguientes inecuaciones y calcule sus vértices:** $$x + 2y \ge 7 \quad 4x - y \ge 1 \quad 2x - y \le 4 \quad 3x + 2y \le 20 \quad x \ge 0 \quad y \ge 0$$ Para representar el recinto, dibujamos las rectas asociadas a cada inecuación: - $r_1: x + 2y = 7$ (Pasa por $(1, 3)$ y $(7, 0)$) - $r_2: 4x - y = 1$ (Pasa por $(1, 3)$ y $(0, -1)$) - $r_3: 2x - y = 4$ (Pasa por $(2, 0)$ y $(3, 2)$) - $r_4: 3x + 2y = 20$ (Pasa por $(0, 10)$ y $(4, 4)$) Evaluando el punto $(0,0)$ en cada inecuación (o puntos interiores), determinamos el semiplano solución. El recinto es el polígono convexo sombreado en el gráfico.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan: - **Vértice A ($r_1 \cap r_2$):** $$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 4x - y = 1 \to y = 4x-1 \end{cases} \implies x + 2(4x-1) = 7 \implies 9x = 9 \implies x=1, y=3 \to \mathbf{A(1, 3)}$$ - **Vértice B ($r_2 \cap r_4$):** $$\begin{cases} 4x - y = 1 \to y = 4x-1 \\ 3x + 2y = 20 \end{cases} \implies 3x + 2(4x-1) = 20 \implies 11x = 22 \implies x=2, y=7 \to \mathbf{B(2, 7)}$$ - **Vértice C ($r_4 \cap r_3$):** $$\begin{cases} 3x + 2y = 20 \\ 2x - y = 4 \to y = 2x-4 \end{cases} \implies 3x + 2(2x-4) = 20 \implies 7x = 28 \implies x=4, y=4 \to \mathbf{C(4, 4)}$$ - **Vértice D ($r_3 \cap r_1$):** $$\begin{cases} 2x - y = 4 \to y = 2x-4 \\ x + 2y = 7 \end{cases} \implies x + 2(2x-4) = 7 \implies 5x = 15 \implies x=3, y=2 \to \mathbf{D(3, 2)}$$ ✅ **Vértices del recinto:** $$\boxed{A(1, 3), \; B(2, 7), \; C(4, 4), \; D(3, 2)}$$

**Obtenga el valor mínimo de la función $F(x, y) = 2x + y$ en el recinto anterior, así como el punto en el que se alcanza.** Evaluamos la función $F(x, y) = 2x + y$ en cada uno de los vértices hallados: $$\begin{array}{c|c} (x, y) & F(x, y) = 2x + y \\ \hline A(1, 3) & F(1, 3) = 2(1) + 3 = 5 \\ B(2, 7) & F(2, 7) = 2(2) + 7 = 11 \\ C(4, 4) & F(4, 4) = 2(4) + 4 = 12 \\ D(3, 2) & F(3, 2) = 2(3) + 2 = 8 \end{array}$$ Comparando los resultados, observamos que el valor más pequeño es **5**. 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal establece que, si existe solución óptima, esta se encuentra en un vértice del recinto (o en un segmento que une dos vértices). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Mínimo de } 5 \text{ en el punto } (1, 3)}$$