Parámetros, extremos relativos, monotonía e integrales de una función polinómica

**a) (1 puntos) Determine los valores $a$ y $b$ para que $f$ tenga un extremo relativo en el punto $(2, 36)$.** Para que la función $f(x) = ax^3 + bx + 4$ tenga un extremo relativo en el punto $(2, 36)$, se deben cumplir dos condiciones: 1. **El punto pertenece a la gráfica:** La función debe pasar por el punto $(2, 36)$, es decir, $f(2) = 36$. 2. **Condición de extremo relativo:** En un extremo relativo de una función derivable, la primera derivada debe ser cero. Por tanto, $f'(2) = 0$. Calculamos primero la derivada genérica: $$f'(x) = 3ax^2 + b$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un punto $(x_0, y_0)$ es un extremo relativo, se cumple que $f(x_0) = y_0$ (pasa por el punto) y $f'(x_0) = 0$ (la pendiente de la tangente es horizontal).

Aplicamos las condiciones anteriores para obtener un sistema de ecuaciones: **1. Condición $f(2) = 36$:** $$a(2)^3 + b(2) + 4 = 36 \implies 8a + 2b + 4 = 36 \implies 8a + 2b = 32$$ Dividiendo entre 2 para simplificar: $$4a + b = 16 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ **2. Condición $f'(2) = 0$:** $$3a(2)^2 + b = 0 \implies 12a + b = 0 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ Resolvemos el sistema restando la Ecuación 1 a la Ecuación 2: $$(12a + b) - (4a + b) = 0 - 16 \implies 8a = -16 \implies \mathbf{a = -2}$$ Sustituimos $a = -2$ en la Ecuación 2: $$12(-2) + b = 0 \implies -24 + b = 0 \implies \mathbf{b = 24}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -2, \quad b = 24}$$

**b) (0.75 puntos) Para $a = 4$ y $b = -3$, estudie la monotonía de $f$ y determine sus extremos relativos.** Sustituimos los valores en la función: $f(x) = 4x^3 - 3x + 4$. Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento), calculamos la derivada y buscamos sus puntos críticos (donde $f'(x) = 0$): $$f'(x) = 12x^2 - 3$$ Igualamos a cero: $$12x^2 - 3 = 0 \implies 12x^2 = 3 \implies x^2 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$ $$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \implies x = \frac{1}{2} \text{ y } x = -\frac{1}{2}$$ Estos valores dividen la recta real en tres intervalos: $(-\infty, -1/2)$, $(-1/2, 1/2)$ y $(1/2, +\infty)$.

Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada intervalo para determinar si la función crece o decrece: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1/2) & -1/2 & (-1/2, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -1/2)$: $f'(-1) = 12(-1)^2 - 3 = 9 \gt 0 \implies$ **Creciente**. - En $(-1/2, 1/2)$: $f'(0) = 12(0)^2 - 3 = -3 \lt 0 \implies$ **Decreciente**. - En $(1/2, +\infty)$: $f'(1) = 12(1)^2 - 3 = 9 \gt 0 \implies$ **Creciente**. Calculamos las ordenadas de los extremos: - Máximo en $x = -1/2$: $f(-1/2) = 4(-1/2)^3 - 3(-1/2) + 4 = 4(-1/8) + 3/2 + 4 = -1/2 + 3/2 + 4 = 5$. - Mínimo en $x = 1/2$: $f(1/2) = 4(1/2)^3 - 3(1/2) + 4 = 4(1/8) - 3/2 + 4 = 1/2 - 3/2 + 4 = 3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Creciente en: } (-\infty, -1/2) \cup (1/2, +\infty) \\ \text{Decreciente en: } (-1/2, 1/2) \\ \text{Máximo relativo en: } (-0.5, 5) \\ \text{Mínimo relativo en: } (0.5, 3) \end{matrix}}$$

**c) (0.75 puntos) Para $a = 4$ y $b = -3$, calcule la función $F(x)$ que verifica $F'(x) = f(x)$ y $F(2) = 10$.** Si $F'(x) = f(x)$, entonces $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$. Calculamos la integral indefinida: $$F(x) = \int (4x^3 - 3x + 4) \, dx$$ Aplicamos la regla de integración para potencias $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$: $$F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 3 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x + C$$ $$F(x) = x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 4x + C$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca sumar la constante de integración $C$ cuando calcules una integral indefinida.

Usamos la condición inicial $F(2) = 10$ para hallar el valor de $C$: $$(2)^4 - \frac{3}{2}(2)^2 + 4(2) + C = 10$$ $$16 - \frac{3}{2}(4) + 8 + C = 10$$ $$16 - 6 + 8 + C = 10$$ $$18 + C = 10 \implies C = 10 - 18 \implies \mathbf{C = -8}$$ Sustituimos el valor de $C$ en la expresión de $F(x)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(x) = x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 4x - 8}$$