Cálculo de derivadas y área de un recinto

**a) (1.2 puntos) Calcule la derivada de las siguientes funciones: $f(x) = ( 5 + x^2 )^2 e^{3x}$** Para derivar $f(x)$ utilizaremos la **regla del producto**: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Identificamos las partes: - $u(x) = (5 + x^2)^2 \implies u'(x) = 2(5 + x^2) \cdot (2x) = 4x(5 + x^2)$ (aplicando la regla de la cadena). - $v(x) = e^{3x} \implies v'(x) = 3e^{3x}$ (aplicando la regla de la cadena). Aplicamos la fórmula: $$f'(x) = [4x(5 + x^2)] \cdot e^{3x} + (5 + x^2)^2 \cdot [3e^{3x}]$$ Para simplificar, podemos sacar factor común $(5 + x^2)e^{3x}$: $$f'(x) = (5 + x^2)e^{3x} \left[ 4x + 3(5 + x^2) \right]$$ $$f'(x) = (5 + x^2)e^{3x} \left[ 4x + 15 + 3x^2 \right]$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $(g(x))^n$ es $n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$ y la de $e^{k \cdot x}$ es $k \cdot e^{k \cdot x}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = (5 + x^2)e^{3x}(3x^2 + 4x + 15)}$$

**Calcule la derivada de: $g(x) = \frac{\ln(x^3 - 5x)}{1 - x^2}$** Para esta función utilizaremos la **regla del cociente**: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Identificamos las partes: - $u(x) = \ln(x^3 - 5x) \implies u'(x) = \frac{3x^2 - 5}{x^3 - 5x}$. - $v(x) = 1 - x^2 \implies v'(x) = -2x$. Aplicamos la fórmula: $$g'(x) = \frac{\frac{3x^2 - 5}{x^3 - 5x} \cdot (1 - x^2) - \ln(x^3 - 5x) \cdot (-2x)}{(1 - x^2)^2}$$ Simplificamos el signo del segundo término del numerador: $$g'(x) = \frac{\frac{(3x^2 - 5)(1 - x^2)}{x^3 - 5x} + 2x \cdot \ln(x^3 - 5x)}{(1 - x^2)^2}$$ 💡 **Tip:** No es necesario realizar todas las operaciones del numerador a menos que se pida simplificar al máximo, pero es fundamental aplicar correctamente la derivada del logaritmo: $[\ln(u)]' = \frac{u'}{u}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{g'(x) = \frac{\frac{(3x^2 - 5)(1 - x^2)}{x^3 - 5x} + 2x \ln(x^3 - 5x)}{(1 - x^2)^2}}$$

**b) (1.3 puntos) Calcule el área del recinto acotado por la gráfica de $h(x) = -x^2 + 2x + 3$ y el eje de abscisas.** El eje de abscisas es la recta $y=0$. Para encontrar los límites de integración, igualamos la función a cero: $$-x^2 + 2x + 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-1)(3)}}{2(-1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{-2} = \frac{-2 \pm 4}{-2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $x_1 = \frac{2}{-2} = -1$ - $x_2 = \frac{-6}{-2} = 3$ Los puntos de corte son **$x = -1$** y **$x = 3$**. Estos serán nuestros límites de integración. 💡 **Tip:** En este tipo de ejercicios, el recinto suele estar delimitado por los puntos donde la función cruza el eje horizontal (raíces).

El área $A$ viene dada por la integral definida de la función entre los límites hallados. Como $h(x)$ es una parábola abierta hacia abajo ($a < 0$) y sus raíces son $-1$ y $3$, la función es positiva en ese intervalo. $$A = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx$$ Calculamos la primitiva (integral indefinida): $$\int (-x^2 + 2x + 3) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 3x = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3}$$

Sustituimos los límites superior e inferior: Para $x = 3$: $$F(3) = -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3(3) = -9 + 9 + 9 = 9$$ Para $x = -1$: $$F(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$$ Calculamos la diferencia: $$A = F(3) - F(-1) = 9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = 9 + \frac{5}{3}$$ $$A = \frac{27 + 5}{3} = \frac{32}{3} \approx 10.67 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si obtienes un número negativo, revisa los límites o usa el valor absoluto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{32}{3} \text{ unidades cuadradas}}$$