Problema de Probabilidad: Lectura de libros

Primero, definimos los sucesos del problema para poder operar con ellos: - $A$: El estudiante ha leído el primer libro. - $B$: El estudiante ha leído el segundo libro. Del enunciado extraemos los siguientes datos (frecuencias absolutas): - Total de estudiantes: $N = 120$ - Han leído el primer libro: $n(A) = 46$ - Han leído el segundo libro: $n(B) = 34$ - Han leído ambos libros (intersección): $n(A \cap B) = 16$ Para facilitar los cálculos, construimos una **tabla de contingencia** completando los huecos mediante restas: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline A & 16 & 30 & 46 \\ \bar{A} & 18 & 56 & 74 \\ \hline \text{Total} & 34 & 86 & 120 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas con datos de conteo, la tabla de contingencia es la herramienta más clara para visualizar todas las combinaciones posibles (quién leyó solo uno, ninguno, etc.).

**a) (0.6 puntos) Calcule la probabilidad de que haya leído alguno de los dos libros.** Que haya leído "alguno de los dos" equivale a la unión de los sucesos ($A \cup B$). Aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Calculamos las probabilidades individuales usando la regla de Laplace (casos favorables / casos posibles): - $P(A) = \frac{46}{120}$ - $P(B) = \frac{34}{120}$ - $P(A \cap B) = \frac{16}{120}$ Sustituimos: $$P(A \cup B) = \frac{46}{120} + \frac{34}{120} - \frac{16}{120} = \frac{64}{120}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 8: $$P(A \cup B) = \frac{8}{15} \approx 0.5333$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = \frac{8}{15} \approx 0.5333}$$

**b) (0.6 puntos) Calcule la probabilidad de que no haya leído ninguno de los dos libros.** No haber leído ninguno es el suceso contrario a haber leído al menos uno ($A \cup B$). Por tanto, usamos la propiedad del suceso complementario: $$P(\text{ninguno}) = P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B)$$ Utilizando el resultado del apartado anterior: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - \frac{64}{120} = \frac{120 - 64}{120} = \frac{56}{120}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 8: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{7}{15} \approx 0.4667$$ *(Nota: También podemos ver este dato directamente en la tabla de contingencia en la intersección de $\bar{A}$ y $\bar{B}$, que es 56).* ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{7}{15} \approx 0.4667}$$

**c) (0.6 puntos) Calcule la probabilidad de que solamente haya leído el primer libro.** Este suceso se define como haber leído el primer libro ($A$) y **no** haber leído el segundo ($\bar{B}$). Se representa como $P(A \cap \bar{B})$ o $P(A - B)$. La fórmula es: $$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$$ Sustituimos con los datos conocidos: $$P(A \cap \bar{B}) = \frac{46}{120} - \frac{16}{120} = \frac{30}{120}$$ Simplificamos la fracción: $$P(A \cap \bar{B}) = \frac{1}{4} = 0.25$$ 💡 **Tip:** "Solamente A" significa que a los que leyeron A les quitamos los que leyeron también B. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap \bar{B}) = 0.25}$$

**d) (0.7 puntos) Calcule la probabilidad de que haya leído el primer libro, si se sabe que no ha leído el segundo.** Estamos ante una **probabilidad condicionada**. Queremos calcular la probabilidad de $A$ sabiendo que ha ocurrido $\bar{B}$. La fórmula es: $$P(A | \bar{B}) = \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$$ Del apartado anterior sabemos que $P(A \cap \bar{B}) = \frac{30}{120}$. Necesitamos $P(\bar{B})$, que es el total de personas que no leyeron el segundo libro: $$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{34}{120} = \frac{86}{120}$$ Calculamos la condición: $$P(A | \bar{B}) = \frac{\frac{30}{120}}{\frac{86}{120}} = \frac{30}{86}$$ Simplificamos dividiendo entre 2: $$P(A | \bar{B}) = \frac{15}{43} \approx 0.3488$$ 💡 **Tip:** Si usamos la tabla de contingencia, basta con mirar la columna de $\bar{B}$ (86 personas) y ver cuántas de ellas están en la fila de $A$ (30 personas). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A | \bar{B}) = \frac{15}{43} \approx 0.3488}$$