Probabilidad y Estadística 2020 Andalucia
Probabilidad de calidad de bicicletas de alquiler
EJERCICIO 6
Las bicicletas de alquiler de una ciudad se clasifican por su calidad: buena, media y mala. El $30 \%$ de dichas bicicletas son gestionadas por una empresa $E_1$ y el resto por una empresa $E_2$. De las bicicletas de la empresa $E_1$, el $80 \%$ son de buena calidad, el $5 \%$ de calidad media y el resto de mala calidad. De las bicicletas de la empresa $E_2$ se sabe que el $60 \%$ son de buena calidad, pero se desconocen los porcentajes de bicicletas de calidad media y calidad mala. Se elige al azar una bicicleta de alquiler de esa ciudad.
a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que sea de buena calidad.
b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que sea de la empresa $E_1$ y de mala calidad.
c) (0.75 puntos) Si se sabe que el porcentaje de bicicletas de alquiler de calidad media en toda la ciudad es del $19 \%$, ¿cuál es la probabilidad de que sea de calidad media, sabiendo que la bicicleta elegida es de la empresa $E_2$?
Paso 1
Definición de sucesos y organización de datos
Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales:
- $E_1$: La bicicleta pertenece a la empresa $E_1$.
- $E_2$: La bicicleta pertenece a la empresa $E_2$.
- $B$: La bicicleta es de buena calidad.
- $M$: La bicicleta es de calidad media.
- $Ma$: La bicicleta es de mala calidad.
Del enunciado extraemos las probabilidades:
- $P(E_1) = 0.30 \implies P(E_2) = 1 - 0.30 = 0.70$
- Empresa $E_1$: $P(B|E_1) = 0.80$, $P(M|E_1) = 0.05$, $P(Ma|E_1) = 1 - (0.80 + 0.05) = 0.15$
- Empresa $E_2$: $P(B|E_2) = 0.60$
Representamos la situación con un diagrama de árbol:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de buena calidad
**a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que sea de buena calidad.**
Para calcular la probabilidad total de que una bicicleta sea de buena calidad $P(B)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(B) = P(E_1) \cdot P(B|E_1) + P(E_2) \cdot P(B|E_2)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(B) = 0.30 \cdot 0.80 + 0.70 \cdot 0.60$$
$$P(B) = 0.24 + 0.42 = 0.66$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total permite calcular la probabilidad de un suceso general sumando las probabilidades de que ocurra a través de cada uno de los caminos posibles (empresas en este caso).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(B) = 0.66}$$
Paso 3
Probabilidad de ser de la empresa E1 y de mala calidad
**b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que sea de la empresa $E_1$ y de mala calidad.**
Nos piden la probabilidad de la intersección $P(E_1 \cap Ma)$.
Primero, calculamos la probabilidad de que una bicicleta de $E_1$ sea de mala calidad:
$$P(Ma|E_1) = 1 - P(B|E_1) - P(M|E_1) = 1 - 0.80 - 0.05 = 0.15$$
Ahora, calculamos la probabilidad conjunta:
$$P(E_1 \cap Ma) = P(E_1) \cdot P(Ma|E_1)$$
$$P(E_1 \cap Ma) = 0.30 \cdot 0.15 = 0.045$$
💡 **Tip:** La probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez (intersección) se calcula multiplicando la probabilidad del primero por la probabilidad del segundo condicionada al primero.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(E_1 \cap Ma) = 0.045}$$
Paso 4
Probabilidad condicionada de calidad media en E2
**c) (0.75 puntos) Si se sabe que el porcentaje de bicicletas de alquiler de calidad media en toda la ciudad es del $19 \%$, ¿cuál es la probabilidad de que sea de calidad media, sabiendo que la bicicleta elegida es de la empresa $E_2$?**
Nos dan la probabilidad total de calidad media: $P(M) = 0.19$. Nos piden hallar $P(M|E_2)$.
Usamos de nuevo el **Teorema de la Probabilidad Total** para el suceso $M$:
$$P(M) = P(E_1) \cdot P(M|E_1) + P(E_2) \cdot P(M|E_2)$$
Sustituimos los valores que conocemos y llamamos $x$ a la incógnita $P(M|E_2)$:
$$0.19 = 0.30 \cdot 0.05 + 0.70 \cdot x$$
$$0.19 = 0.015 + 0.70x$$
Despejamos $x$:
$$0.19 - 0.015 = 0.70x$$
$$0.175 = 0.70x$$
$$x = \frac{0.175}{0.70} = 0.25$$
💡 **Tip:** No olvides que el enunciado pide una probabilidad condicionada (calidad media dado que es de $E_2$), que es precisamente el valor que aparece en la rama del árbol.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M|E_2) = 0.25}$$