Probabilidad y Estadística 2020 Andalucia
Inferencia estadística: Intervalo de confianza y error máximo
EJERCICIO 7
La vida útil, en años, de las lavadoras de un determinado modelo, se distribuye según una ley Normal de varianza $7.84$. En una muestra de 12 lavadoras, la vida útil en años ha sido:
$$9.5 \quad 9 \quad 10.2 \quad 8.6 \quad 11.4 \quad 10.8 \quad 12.6 \quad 11 \quad 11.8 \quad 14.5 \quad 10.4 \quad 9.8$$
a) (1.5 puntos) Con estos datos, determine un intervalo de confianza al $93.5 \%$ para estimar la vida útil media de estas lavadoras.
b) (1 punto) Calcule el error máximo que se puede cometer al estimar la vida útil media de este modelo de lavadoras, si se toma una muestra de 50 lavadoras y asumimos un nivel de confianza del $99 \%$.
Paso 1
Identificación de los datos de la población y cálculo de la media muestral
**a) (1.5 puntos) Con estos datos, determine un intervalo de confianza al $93.5 \%$ para estimar la vida útil media de estas lavadoras.**
Primero, identificamos los parámetros de la población. El enunciado indica que la varianza es $\sigma^2 = 7.84$. Para trabajar con la distribución Normal, necesitamos la desviación típica $\sigma$:
$$\sigma = \sqrt{7.84} = 2.8$$
A continuación, calculamos la media de la muestra ($\bar{x}$) sumando los 12 valores y dividiendo por el tamaño de la muestra ($n=12$):
$$\bar{x} = \frac{9.5 + 9 + 10.2 + 8.6 + 11.4 + 10.8 + 12.6 + 11 + 11.8 + 14.5 + 10.4 + 9.8}{12} = \frac{129.6}{12} = 10.8$$
💡 **Tip:** Recuerda que si te dan la varianza, siempre debes calcular la raíz cuadrada para obtener la desviación típica antes de aplicar las fórmulas de inferencia.
$$\boxed{\sigma = 2.8, \quad n = 12, \quad \bar{x} = 10.8}$$
Paso 2
Cálculo del valor crítico $z_{\alpha/2}$
Para un nivel de confianza del $93.5 \%$, tenemos:
$$1 - \alpha = 0.935 \implies \alpha = 1 - 0.935 = 0.065$$
Calculamos el valor de $\alpha/2$:
$$\frac{\alpha}{2} = \frac{0.065}{2} = 0.0325$$
Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$:
$$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.0325 = 0.9675$$
Buscando en la tabla de la Normal $N(0,1)$, encontramos que el valor que corresponde a una probabilidad de $0.9675$ es:
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.845}$$
(Nota: Al estar exactamente en medio de $1.84$ y $1.85$, tomamos el valor intermedio).
Paso 3
Cálculo del intervalo de confianza
La fórmula del intervalo de confianza para la media es:
$$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$
Calculamos primero el error máximo admisible $E$:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.845 \cdot \frac{2.8}{\sqrt{12}} \approx 1.845 \cdot \frac{2.8}{3.4641} \approx 1.845 \cdot 0.8083 \approx 1.4913$$
Ahora construimos el intervalo:
$$I.C. = (10.8 - 1.4913, \, 10.8 + 1.4913) = (9.3087, \, 12.2913)$$
✅ **Resultado (Intervalo de confianza):**
$$\boxed{I.C. = [9.3087, \, 12.2913]}$$
Paso 4
Cálculo del error máximo para el apartado b
**b) (1 punto) Calcule el error máximo que se puede cometer al estimar la vida útil media de este modelo de lavadoras, si se toma una muestra de 50 lavadoras y asumimos un nivel de confianza del $99 \%$.**
Identificamos los nuevos datos:
- Tamaño muestral: $n = 50$
- Desviación típica: $\sigma = 2.8$ (se mantiene igual)
- Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.005$
Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$:
$$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$$
Buscando en la tabla de la Normal $N(0,1)$, observamos que para $0.995$ el valor está entre $2.57$ y $2.58$. Usualmente se utiliza:
$$z_{\alpha/2} = 2.575$$
Aplicamos la fórmula del error máximo $E$:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.575 \cdot \frac{2.8}{\sqrt{50}} = 2.575 \cdot \frac{2.8}{7.0711} \approx 2.575 \cdot 0.39598 \approx 1.0196$$
💡 **Tip:** El error máximo siempre es la mitad de la amplitud del intervalo de confianza.
✅ **Resultado (Error máximo):**
$$\boxed{E \approx 1.0196 \text{ años}}$$