Matrices aplicadas a costes de agencias de viajes

**a) (1 punto) Exprese, mediante una matriz $A$, los precios de las dos agencias según tipo de habitación y con otra matriz $D$ la demanda de los tres institutos.** Para organizar la información en matrices, debemos establecer qué representan las filas y las columnas en cada una. **Matriz de precios $A$:** Organizaremos las agencias en filas y los tipos de habitación (Individual, Doble, Triple) en columnas. Así, $A$ será una matriz de dimensión $2 \times 3$. - Fila 1 (Agencia 1): $65, 85, 104$ - Fila 2 (Agencia 2): $78, 83, 106$ $$A = \begin{pmatrix} 65 & 85 & 104 \\ 78 & 83 & 106 \end{pmatrix}$$ **Matriz de demanda $D$:** Organizaremos los institutos en filas y los tipos de habitación en columnas. Así, $D$ será una matriz de dimensión $3 \times 3$. - Fila 1 (Instituto 1): $3, 15, 2$ - Fila 2 (Instituto 2): $2, 12, 5$ - Fila 3 (Instituto 3): $1, 16, 7$ $$D = \begin{pmatrix} 3 & 15 & 2 \\ 2 & 12 & 5 \\ 1 & 16 & 7 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Es fundamental que el orden de las columnas en ambas matrices coincida (en este caso: Individual, Doble, Triple) para poder realizar operaciones coherentes posteriormente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 65 & 85 & 104 \\ 78 & 83 & 106 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 3 & 15 & 2 \\ 2 & 12 & 5 \\ 1 & 16 & 7 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Mediante operaciones con las matrices anteriores, calcule el precio por noche que cada agencia facilita a los distintos institutos por el total de habitaciones solicitadas. ¿Qué agencia le interesaría a cada instituto?** Para obtener el coste total de cada instituto en cada agencia, debemos multiplicar la demanda por el precio. Como $D$ es $3 \times 3$ (Institutos $\times$ Habitaciones) y $A$ es $2 \times 3$ (Agencias $\times$ Habitaciones), para que el producto sea posible, debemos trasponer $A$. Calculamos $C = D \cdot A^t$: $$C = \begin{pmatrix} 3 & 15 & 2 \\ 2 & 12 & 5 \\ 1 & 16 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 65 & 78 \\ 85 & 83 \\ 104 & 106 \end{pmatrix}$$ Realizamos los productos fila por columna: - **Inst. 1 - Ag. 1:** $3(65) + 15(85) + 2(104) = 195 + 1275 + 208 = 1678$ - **Inst. 1 - Ag. 2:** $3(78) + 15(83) + 2(106) = 234 + 1245 + 212 = 1691$ - **Inst. 2 - Ag. 1:** $2(65) + 12(85) + 5(104) = 130 + 1020 + 520 = 1670$ - **Inst. 2 - Ag. 2:** $2(78) + 12(83) + 5(106) = 156 + 996 + 530 = 1682$ - **Inst. 3 - Ag. 1:** $1(65) + 16(85) + 7(104) = 65 + 1360 + 728 = 2153$ - **Inst. 3 - Ag. 2:** $1(78) + 16(83) + 7(106) = 78 + 1328 + 742 = 2148$ La matriz resultante de costes es: $$C = \begin{pmatrix} 1678 & 1691 \\ 1670 & 1682 \\ 2153 & 2148 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices $M \cdot N$, el número de columnas de $M$ debe ser igual al número de filas de $N$.

Analizamos los resultados obtenidos para cada instituto: 1. **Instituto 1:** Comparamos $1678$ € (Agencia 1) frente a $1691$ € (Agencia 2). Le interesa la **Agencia 1**. 2. **Instituto 2:** Comparamos $1670$ € (Agencia 1) frente a $1682$ € (Agencia 2). Le interesa la **Agencia 1**. 3. **Instituto 3:** Comparamos $2153$ € (Agencia 1) frente a $2148$ € (Agencia 2). Le interesa la **Agencia 2**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Inst. 1: Ag. 1, Inst. 2: Ag. 1, Inst. 3: Ag. 2}}$$

**c) (0.5 puntos) ¿Existe la inversa de la matriz $D$? ¿Y de la matriz $A$? Justifique las respuestas.** **Para la matriz $A$:** La matriz $A$ tiene dimensión $2 \times 3$. Por definición, **solo las matrices cuadradas pueden tener matriz inversa**. Al no ser una matriz cuadrada, la matriz $A$ **no tiene inversa**. **Para la matriz $D$:** La matriz $D$ es cuadrada ($3 \times 3$). Para saber si existe su inversa, debemos calcular su determinante. Si $|D| \neq 0$, entonces existe $D^{-1}$. Calculamos $|D|$ usando la regla de Sarrus: $$|D| = \begin{vmatrix} 3 & 15 & 2 \\ 2 & 12 & 5 \\ 1 & 16 & 7 \end{vmatrix}$$ $$|D| = [3 \cdot 12 \cdot 7 + 15 \cdot 5 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot 16] - [1 \cdot 12 \cdot 2 + 16 \cdot 5 \cdot 3 + 7 \cdot 2 \cdot 15]$$ $$|D| = [252 + 75 + 64] - [24 + 240 + 210]$$ $$|D| = 391 - 474 = -83$$ Como **$|D| = -83 \neq 0$**, la matriz $D$ **sí tiene inversa**. 💡 **Tip:** Una matriz es invertible (o regular) si y solo si es cuadrada y su determinante es distinto de cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A no tiene inversa (no es cuadrada). D sí tiene inversa (es cuadrada y } |D| \neq 0).}$$