Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (1.75 puntos) Represente la región factible definida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices:** Para representar la región factible, primero convertimos cada inecuación en una igualdad para obtener las rectas que delimitan la región: 1. $r_1: x + 2y = 13$ Puntos de corte: si $x=1, y=6$; si $x=13, y=0$. 2. $r_2: x - y = 4$ Puntos de corte: si $x=4, y=0$; si $x=0, y=-4$. 3. $r_3: x - 2y = -7$ Puntos de corte: si $x=1, y=4$; si $x=-7, y=0$. 4. $r_4: x + y = 5$ Puntos de corte: si $x=5, y=0$; si $x=0, y=5$. Para saber qué semiplano elegir, probamos con un punto (por ejemplo, el $(0,0)$) en cada inecuación: - $0 + 0 \le 13$ (Cierto) - $0 - 0 \le 4$ (Cierto) - $0 - 0 \ge -7$ (Cierto) - $0 + 0 \ge 5$ (Falso) 💡 **Tip:** Si al sustituir el punto $(0,0)$ la inecuación se cumple, el semiplano solución es el que contiene al origen. Si no se cumple, es el lado opuesto.

Los vértices son los puntos de intersección de las rectas que limitan la región. Resolvemos los sistemas de dos en dos: - **Vértice A** ($r_1 \cap r_2$): $$\begin{cases} x + 2y = 13 \\ x - y = 4 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $3y = 9 \implies y = 3$. Sustituyendo: $x - 3 = 4 \implies x = 7$. **$A(7, 3)$**. - **Vértice B** ($r_2 \cap r_4$): $$\begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 5 \end{cases}$$ Sumando: $2x = 9 \implies x = 4.5$. Sustituyendo: $4.5 + y = 5 \implies y = 0.5$. **$B(4.5, 0.5)$**. - **Vértice C** ($r_3 \cap r_4$): $$\begin{cases} x - 2y = -7 \\ x + y = 5 \end{cases}$$ Restando: $-3y = -12 \implies y = 4$. Sustituyendo: $x + 4 = 5 \implies x = 1$. **$C(1, 4)$**. - **Vértice D** ($r_1 \cap r_3$): $$\begin{cases} x + 2y = 13 \\ x - 2y = -7 \end{cases}$$ Sumando: $2x = 6 \implies x = 3$. Sustituyendo: $3 + 2y = 13 \implies 2y = 10 \implies y = 5$. **$D(3, 5)$**. ✅ **Resultado (Vértices):** $$\boxed{A(7, 3), \quad B(4.5, 0.5), \quad C(1, 4), \quad D(3, 5)}$$

**b) (0.75 puntos) Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivo $F(x, y) = x + y$ en la región anterior y determine los puntos en los que se alcanzan.** Evaluamos la función $F(x, y) = x + y$ en cada uno de los vértices hallados: - $F(A) = F(7, 3) = 7 + 3 = 10$ - $F(B) = F(4.5, 0.5) = 4.5 + 0.5 = 5$ - $F(C) = F(1, 4) = 1 + 4 = 5$ - $F(D) = F(3, 5) = 3 + 5 = 8$ Comparando los resultados: - El valor **máximo** es **10**, y se alcanza en el punto **$(7, 3)$**. - El valor **mínimo** es **5**. Como se alcanza en dos vértices contiguos ($B$ y $C$), el mínimo se alcanza en todos los puntos del segmento que los une. 💡 **Tip:** Si el máximo o mínimo se repite en dos vértices adyacentes, cualquier punto del segmento que une esos vértices también es una solución óptima. Esto ocurre porque la función objetivo es paralela a uno de los lados de la región (en este caso, a la recta $x+y=5$). ✅ **Resultado (Máximo y Mínimo):** $$\boxed{\text{Máximo: } 10 \text{ en } (7, 3). \quad \text{Mínimo: } 5 \text{ en el segmento } \overline{BC}.}$$ Donde el segmento $\overline{BC}$ está definido por los puntos de la recta $x + y = 5$ con $1 \le x \le 4.5$.